LINEÁRNÍ ALGEBRA A ANALYTICKÁ A DIFERENCIÁLNÍ GEOMETRIE APLIKOVANÁ V GEOMETRII VÍCEROZMĚRNÝCH EUKLEIDOVSKÝCH PROSTORŮ

Další souvislosti zde :

https://aztli.wordpress.com/2009/02/17/o-geometrickych-vlastnostech-znamych-teles-ve-vicerozmernem-prostoru/

V tomto článku bude ukázáno , jak lze to , co je poměrně těžkopádně vyučováno separovaným způsobem bez širších souvislostí , jak lze zobecnit a řešit totéž ve vícerozměrném prostoru E(N) .

Obvykle se vyučují pojmy, jako vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost bodu od roviny, vzdálenost přímky od přímky a vzdálenost roviny od roviny a dál se již nedojde.

Přitom si stačí uvědomit toto:

Bod je vlastně reprezentantem prostoru E(0)

Přímka je reprezentantem prostoru E(1)

Rovina je reprezentantem prostoru E(2)

Krychle  (viz jiný s tímto související článek ) je reprezentantem prostoru E(3)

Hyperkrychle čtyřrozměrná je reprezentantem prostoru E(4)

A tak dále do vyšších rozměrů .

A jelikož prostor kolem nás je pochopitelně pro běžné uživatele 3 rozměrný , tak se již tento útvar neuvažuje , jelikož aby mělo smysl například měřit vzdálenost bodu od krychle  E(3), musí být jak bod , tak útvar krychle E(3) vnořeny do prostoru E(4) , k čemuž se jaksi nedojde .

Tam by totiž tento pojem měl smysl .

Jinak by to bylo samozřejmě podobné, jako zjišťovat v prostoru E(2) vzdálenost bodu od roviny, která je sama o sobě celým prostorem E(2) a současně útvarem E(2). Tak to lze až po přenesení do prostoru s další dimenzí (nejen do E(3) , ale i do E(4) a výše) .

Takže všeobecně se jedná v každém případě , co se zmíněných a lidskými slovy popsaných útvarů týče , o hyperkrychli , ikdyž nahlíženou očima člověka z prostoru, v němž se zachází obvykle s E(3) rozměry .

Takže lze pochopitelně odvozovat vzdálenost tělesa E(0) vnořeného do E(2) od útvaru E(1) .

A podobně útvar E(2) od jiného útvaru E(2) , ale vnořeného do E(3)

A to pochopitelně platí i pro jakékoliv hyperútvary alias hyperkrychle .

Takže obecně můžeme zjišťovat vzdálenost mezi hyperútvary vždy, když budeme mít k dispozici prostor E(N) a útvary, mezi nimiž vzdálenost zjišťujeme , musí mít dimenzi nejvýše E(N-1) .

Takže například to , co se řeší jako vzdálenost bodu od přímky lze naprosto zevšeobecnit.

Takže nyní trochu klasického vyjádření :

Přímka může být zadána jako explicitně tedy y = f(x) nebo x2=f(x1)

nebo implicitně f(x,y) = 0 nebo f(x1,x2) = 0

Ten první způsob má obvykle tvar y = k * x + q

Od toho lze přejít k implicitnímu takto :

-k*x + y – q = 0

I tak jej můžeme napsat obecně jako k * x + 1 * y + q = 0 , resp zcela obecně a * x + b * y + c = 0

Ovšem přímka (a obecně jakákoliv hyperkrychle v E(N)) může být zadána bez rovnice, pouze danými body , rovnice samotné není vůbec  třeba , tu lze samozřejmě z těch bodů naopak dodatečně odvodit, ale pro samotný výpočet vzdáleností to není účelné . Samozřejmě, že jsou nicméně vypracovány různé vzorce, jež ale vyplynuly zjednodušením obecných vztahů , níže uvedených .

Především vznikly v době , kdy ještě výpočetní technika byla poměrně nedostupná . Proto také se v oněch učebnicích objevují příklady poměrně zjednodušené , souřadnice např. obsahují dost nul apod. Pak se takový příklad dost ztrivializuje a názornost je ta tam.

S přibývajícím počtem rozměrů prostoru roste pochopitelně počet souřadnic, v nichž jsou útvary svými body vyjádřeny a nutný počet rovnic a s tím spojený nárůst počtu nutných koeficientů , jež je nutno určit a stále složitější systém určujících rovnic .

Navíc je nutno řešit soustavu rovnic , což vede na výpočet inversní matice a to byl problém v minulosti vždy .

Ještě větším problémem je získat koeficienty výchozí rovnice .

To v současnosti problém již pochopitelně není, jelikož lze užít z množství tabulkových  procesorů dle zkušeností konkrétní vhodný , kde jsou výpočty velmi přehledné a navíc lze rekursivně již vypracovaný výpočet pro výpočty s útvary nižších dimenzí snadno rozšířit na vyšší dimenze s odpovídajícím počtem souřadnic a rovnic .

Pak, v klasickém řešení když budeme řešit vzdálenost bodu od přímky, tak vlastně máme díky tomuto implicitnímu tvaru již  dispozici automaticky vektor normály , jehož souřadnice jsou dány přímo koeficienty u proměnných x , y . Tam se to řešilo následně ,

Byl dán bod M [x1,x2] , dále „nějak“ zadaná přímka . Takže  se mohlo díky implicitnímu tvaru , který umožnil automatickou znalost vektoru n , kolmému na vektor přímky přejít výraz :

Bod na patě kolmice N = M + t * n , jehož souřadnice byly dány koeficienty u proměnných v implictním tvaru .

A totéž šlo i pro rovinu , přešlo se ze tvaru z = f(x,z) na tvar f (x,y,z) = 0 a hned byly k dispozici koeficienty u proměnných x,y,z , jež dávaly souřadnice vektoru normály , který byl kolmý na onu rovinu v bodě N .

(podobně můžeme automaticky vyrobit vektor normály i z koeficientů u jednotlivých proměnných , jež definují hyperkrychli E(N´) vnořenou v E(N) , kde N´< N a zadanou v implicitním tvaru f(x1,x2,x3,…xn) = 0 , tedy ve tvaru a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 +…an*xn + a0 = 0 , tedy koeficienty a1,a2,a3,..,ai,…an jsou složkami vektoru normály).

To samozřejmě umožní zjednodušit postup , ale obecněji je lépe pracovat s body, jež daný útvar , hyperkrychli definují .

To je jednoznačné vždy a dobře to ukazuje, co se vlastně odehrává .

(Tak jistě , šel by použít i onen postup s normálou i v jakémkoliv prostoru E(N) , kde N >3 a „nadrovina“ – dřívější výraz, či hyperkrychle je pak dána výrazem f(x1,x2,x3,…xn) = 0 , tj. a1*x1+a2*x2+a3*x3+….an*xn+a0 = 0 , ale s body se pracuje lépe).

Vždy , když se bude řešit vzdálenost bodu od jiného útvaru , tak se to provede obecně tak , že se onen bod promítne ortogonálně do onoho útvaru , obdržíme patu kolmice a pak  E(N) prostorovou pythagorovou větou obdržíme vzájemnou vzdálenost bodu od útvaru .

Vlastně se jedná o obdobu „půdorysného průmětu“ bodu do roviny , tak postup je vždy stejný .

Toto výše uvedené je ale nutno provádět v prostorech vyšší dimenze a pro vzdálenost bodu od útvarů dimenze alespoň o jednu menší, než je onen vícerozměrný prostor , a to se musí efektivně uskutečnit tak, že si uvědomíme, co je podstatou vzniku hyperútvaru :

Abychom obdrželi bezrozměrný tedy nularozměrný útvar E(0) , tedy bod , potřebujeme 1 bod

Abychom obdrželi jednorozměrný útvar E(1)  , tedy přímku , potřebujeme 2 body,

Abychom obdrželi dvourozměrný útvar E(2) , tedy rovinu , potřebujeme 3 body

Abychom obdrželi třírozměrný útvar E(3) , tedy krychli , potřebujeme 4 body.

Abychom obdrželi čtyřrozměrný útvar E(4) ,  tedy hyperkrychli , potřebujeme bodů 5

…

Abychom obdrželi 10 rozměrnou hyperkrychli , potřebujeme bodů 11 .

Takže je vidět, že na vytvoření jakéhokoliv útvaru o počtu rozměrů E(N) potřebuje N+1 bodů .

Samozřejmě , že nesmí být závislé ve smyslu toho, že by ležely v jedné přímce, rovině , krychli , obecně hyperkrychli  apod, musí vždy ten počet bodů N+1 být vnořen alespoň do prostoru E(N) .

To je celkem logické, rovina daná třemi body má smysl teprve v E(3) prostoru, jinak v E(2) by byla ona sama celým tím prostorem a nebylo by co „měřit“ , tedy vzdálenost bodu od té samé roviny, v níž by ležel onen bod .

Obecně pro jakýkoliv útvar v jakémkoliv prostoru vyšší dimenze vnořený to lze řešit následovně :

Budeme- li zjišťovat vzdálenost bodu od přímky, (a je lhostejno, zda jsou tyto subútvary hyperkrychle vnořené do E(2) , E(3) , E(4) … E(N) , kde N > 2 ) , tak si nejprve můžeme jakýmkoliv dostupným způsobem stanovit potřebný počet bodů, jež tento subútvar (hyperkrychli) definují.

Tj. v E(2) si najdeme dva body na té přímce , a sice tak , že je spočteme jakýmkoliv dostupným způsobem , pokud bude zadána rovnicí (třeba učebnicově) , například zvolíme souřadnic x (obecně x1) a tuto dosadíme do rovnice ať již v implicitním či explicitním tvaru a obdržíme příslušnou souřadnici y (obecně x2) a tak další bod .

(Poznámka: bod, jehož vzdálenost zjišťujeme, budeme značit M , patu kolmice, do níž je promítnut, budeme značit N , a počet potřebných bodů hyperkrychle  E(N´) ,  (zde subútvaru v E(N)) , jako A1, A2 ,…. AN´, kde N´<  N.

 

A jelikož se jedná výhradně o skalární součin , budeme jej značit * .

Dále si uvědomíme, že jakýkoliv bod na přímce obdržíme takto :

N = A1 + t1 * (A2-A1)  (rovnice 1) .

Příčemž ten neznámý bod N je právě tím bodem, co je ortogonálním průmětem daného bodu M , jehož vzdálenost od přímky zjišťujeme a je promítnut do paty kolmice N .

Samotnou vzdálenost pak vypočteme z E(N)  prostorové pythagorovy věty :

d(M,N)(E(N)) = ((x1(M)-x1(N))^2 + (x2(M)-x2(N))^2   … (xN(M)-xN(N))^2)^.5  (rovnice 2)

Dále platí pro skalární součin vektorů (N-M) * (A2-A1) = 0   (rovnice 3)

Takže :

Doplním ještě obrázek pro ilustraci .

Dále ještě uvedu, jak by tentýž příklad vypadal přenesen do prostoru v E(3) , v E(4) .

Dále bude ukázán příklad pro vzdálenost bodu od útvaru E(2) roviny v E(3) a totéž přeneseno do prostoru E(4)

A na závěr ještě příklad , jak by se spočetla vzdálenost bodu od hyperkvádru v prostoru E(4) , případně v E(5) .

A také, jak by se spočetla obecně vzdálenost útvaru například E(1) od útvaru například E(2) v prostoru E(3) a totéž v prostoru E(4) .

A ještě jak by se vypočetla vzdálenost útvaru E(2) od útvaru (E2) v prostoru E(3) a totéž v prostoru E(4)

A ještě jak by se vypočetla vzdálenost roviny o E(2) od hyperkrychle E(3) , obojí vnořeno do prostoru E(4) a E(5)

A na samý závěr, jak by se vypočetla vzdálenost například hyperkrychle E(3) od hyperkrychle E(4) a toto vnořeno do prostoru E(5) .

Zájemce uvidí, že to není nic jiného, než jen mechanická práce,  kdy se musí stanovit dostatečný počet lin. nezávislých subútvarů , najít k nim neznámé koeficienty směrových vektorů , jež „vyrobí“ onu patu kolmice a ze skalárního součinu pak vyjde soustava lineárních rovnic , exaktně řešitelných .

Vlastně se bude jednat o mechanicky uplatněné  maticové součiny a řešení bude prostřednictvím inversní matice .

Kdo se toto naučí, tak bude se na to, co je vyučováno klasicky, dívat s nadhledem .

Příklad 1 – vzdálenost bodu od přímky v E(2)

Příklad 2 – vzdálenost bodu od přímky v E(3)

Příklad 3 – vzdálenost bodu od přímky v E(4)

Příklad 4 – vzdálenost bodu od roviny v E(3)

Příklad 5 – vzdálenost bodu od roviny v E(4)

Příklad 6 – vzdálenost bodu od prostoru E(3) , tedy od krychle (E3) v E(4)

Příklad 7 – vzdálenost dvou přímek mimoběžek v E(3)

Příklad 8 – vzdálenost dvou rovin v E(3)

Příklad 9 vzdálenost dvou rovin v E(4)

Příklad 10 – vzdálenost dvou přímek mimoběžek v E(4)

Příklad 1

Máme v rovině E(2) bod M a body dané přímky A1 , A2 a chceme zjistit vzdálenost bodu M od této přímky A1,A2 . 

M [6 , 4]

A1 [1 , 5]

A2[10 , 23]

Nyní dosadíme do rovnice 1

Takže :

N = A1+ t1 * (A2-A1)

Obdržíme :

x1(N1) = 1 + (10-1)*t1 = 1 + 9*t1

x2(N2) =5+ (23-5)*t1 = 5 + 18*t1

Tedy souřadnice bodu N budou

N [1+9*t1 , 5 + 18* t1 , 16-5*t1]

Nyní takto vyjádřené souřadnice bodu N dosadíme do rovnice 3

(N-M) * (A2-A1) = 0

obdržíme :

(1+9*t1-6,5+18*t1-4) * (9,18) = 9*(9*t1-5) + 18*(18*t1+1) = 0

Po úpravě bude : 81 * t1 – 45 + 324 * t1 + 18 = 0

pak 405 * t1 – 27 = 0 , odtud t1 = 27/405

Vypočtenou hodnotu t1 dosadíme do rovnice 1

N = A1 + t1 * (A2-A1)

a obdržíme souřadnice bodu N :

x1(N) = 1 + 27/405 * 9 = 1.6

x2(N) = 5 +27/405 * 18 = 6.2

Nyní již zcela jednoduše spočteme vzdálenost bodů d(M,N) = ((x1(M)-x1(N))^2 + (x2(M)-x2(N))^2)^.5 = 4.92 m z rovnice 2 

Pro kontrolu můžeme a u vícerozměrných protorů , kde se objeví více vektorů , jejichž kolmost požadujeme , to je žádoucí , provést naznačené skalární násobení vektorů (N-M) * (A2-A1) = 0

Pokud nula vyjde , (když jsme například počítali vzdálenost na 3 desetinná  místa, tak jsme mezivýpočty prováděli na 4 místa) , musí vyjít výsledek , kde na třetím místě může být číslo odlišné od nuly , je výpočet správný .

Takže provedeme součiny :

M [ 6 , 4 ]

N[ 1.6 , 6.2 ]

—————–

(N-M) = (-4.4 , 2.2)

A1 [ 1 , 5 ]

A2 [ 10 , 23 ]

—————–

(A2-A1) = (9 , 18)

Součiny složek (N-M)*(A2-A1)

-39.6 + 39.6 = 0 , což bylo předpokladem a bylo dokázáno .

 

Příklad 2 ,

ten samý jako příklad 1  , ale v prostoru E(3) .

Máme daný bod M , jehož vzdálenost od hyperkrychle (zde přímky) v E(2) si přejeme zjistit .

M [x1,x2,x3] , například M [6,4,10]

Dále máme onu přímku a ta bude dána opět  dvěma na ní ležícími body.Takže máme nyní již :

M [6,4,10]

A1 [1,5,16]

A2 [10,23,11]

Opět vyjádříme bod N dosazením do rovnice 1 :

N =  [1 + 9*t , 5 + 18*t , 16  – 5*t]

Nyní dosadíme do rovnice 3 :

(1+9*t-6 , 5+18*t-4 , 16-5*t-10) *  (9 , 18 , -5) = 0

Po úpravě obdržíme :

(-5 + 9*t + , 1+18*t , 6-5*t) * (9,18,-5) = 0

Po úpravě dále :

(-45 + 81*t ) + (18+ 324*t) + (-30 + 25*t) = -45+81*t+18+324*t-30+25*t = 0

Tedy obdržíme -57 + 430*t = 0 , odtud t = 57/430

Dosadíme do rovnice 1 :

N = [ 2.193 , 7.386 , 15.337]

M  = [6,4,10]

Dosadíme do rovnice 2 a vypočteme vzdálenost :

d(M,N) = 7.379 m

 

Příklad  3 :

Příklad je ten samý , je ale realizován v prostoru E(4)

Takže máme body M , jehož vzdálenost od přímky dané body  A1, A2 zjišťujeme .

Tedy :

 M [6,4,10, 20]

 A1 [1,5,16,25]

 A2 [10,23,11,32]

Opět vyjádříme bod N pomocí rovnice 1 :

N =  [ 1+9*t , 5+18*t , 16-5*t ,  25+7*t ]

Takto vyjádřený bod dosadíme do rovnice 3 :

(1+9*t-6,5+18*t-4,16-5*t-10,25+7*t-20)*(9,18,-5,7) = 0

Po úpravě :

9*(9*t-5)+18*(1+18*t)-5*(6-5*t)+7*(5+7*t) = 0

Po úpravě :

81*t-45+18+324*t-30+25*t+35+49*t = 0

Obdržíme :

479*t  – 22 = 0

t = 22/479

Dosadíme t do rovnice 1 :

N = [1+22/479*9 , 5+22/479*18 , 16+22/479*-5 ,25 + 22/479*7 ]

N =  [1.413 , 4.173 , 15.770 , 25.321]

d(M,N) = 9.093 m

Příklad 4 :

V prostoru E(3) máme bod M , jehož vzdálenost chceme zjistit od roviny dané body A1,A2,A3 .

Takže :

M [6,4,10 ]

A1 [1,5,16 ]

A2 [10,23,11 ]

A3 [21,35,25]

Postup je v zásadě shodný , opět dosadíme pro vyjádření bodu N do rovnice 1:

N = A1+t1 * (A2 – A1) + t2 * (A3-A1)

Pozorné čtenářky si jistě všimly , že se v rovnici 1 objevil prvek navíc , to je pochopitelné , jelikož je dána  rovina jakožto E(2) útvar 2 přímkami, vyjádřenými dvěma směrovými vektory a aby bylo možno se dostat od bodu A1 k bodu N , je to nutno zařídit prostřednictvím lineární kombinace dvou vektorů, neležících v témže subútvaru, tedy zde na jedné přímce .

Tudíž obdržíme :

N = [1+9*t1+20*t2 , 5+18*t1+30*t2 , 16-5*t1+9*t2]

Nyní dosadíme do rovnice 3

(N-M) * (A2-A1) = 0

(N-M) * (A3-A1) = 0

Pozorné čtenářky si jistě též všimly, že se objevily rovnice dvě, místo jedné. Dá se říci, že právě tak akorát.

To proto  , že v zásadě chceme sestrojit vektor kolmý na útvar, tj. když jím byla přímka, stačil jeen vektor vložený do přímky , když oním útvarem je rovina, musí být pochopitelně ony vektory být dva . V případě krychle jím budou musit být tři (vlastně ve skutečnosti budeme pak počítat vzdálenost bodu od prostoru E(3), obojí v E(4j).

Tudíž toto po dosazení bude :

(1+9*t1+20*t2-6,5+18*t1+30*t2-4,16-5*t1+9*t2-10) * (9,18,-5) = 0

(1+9*t1+20*t2-6,5+18*t1+30*t2-4,16-5*t1+9*t2-10) * (20,30,9) = 0

Toto lze upravit jako :

(9*t1+20*t2-5,18*t1+30*t2+1,-5*t1+9*t2+6) * (9,18,-5) = 0

(9*t1+20*t2-5,18*t1+30*t2+1,-5*t1+9*t2+6) * (20,30,9) = 0

Po roznásobení obdržíme :

81*t1+180*t2-45+324*t1+540*t2+18+25*t1-45*t2-30 = 0

180*t1+400*t2-100+540*t1+900*t2+30-45*t1+81*t2+54 = 0

Po úpravě :

430*t1+675*t2 -57 = 0

675*t1+1381*t2 -16 = 0

Dále po úpravě :

430*t1 + 675*t2 = 57

675*t1 + 1381*t2 = 16

To co vše bylo uvedeno , lze také zapsat maticově , tj. :

Výraz

(N-M) * (A2-A1) = 0

(N-M) * (A3-A1) = 0

lze zapsat jako :

Matice

(N-M) * AT  =     0

(1,3)    (3,2)     (1,2)

Tedy:

N1-M1

N2-M2

N3-M3

   (1,3)

*

A21-A11	A31-A11
A22-A12	A32-A12
A23-A13	A33-A13

   (3,2)

=

0

0

   (2,1)

Po roznásobení matic obdržíme přetvořený tvar :

  A    *      T    –   L   =      0 , odtud A * T = L

(2,2) * (2,1)    (2,1)    (2,1)

kde matice A znači koeficienty u neznámých parametrů ti , které nutno dosadit do výchozí rovnice

Tudíž řešením je maticově zapsaný výraz :

A-1 * A    *  T = A-1 * L

Tedy 

E * T = A-1 * L

Tedy

T = A-1 *  L

Čili obdržíme po roznásobení vstupních matic :

 A =

430	675
675	1381

T =

t1

t2

L =

57

16

 Po určení inversní matice obdržíme  :

 T = (0.491422162 , -0.228609674)T

Opět dosadíme vypočtené koeficienty do rovnice 1 :

N = A1+t1 * (A2 – A1) + t2 * (A3-A1)

N =  [ 0.851 , 6.987 , 11.485 ]

M =  [    6       ,     4       ,     10     ]

Nyní již zcela jednoduše dle rovnice 2 spočteme vzdálenost bodů d(M,N) = ((x1(M)-x1(N))^2 + (x2(M)-x2(N))^2)^.5 = 6.135  m , což je naše hledaná vzdálenost bodu od roviny v E(3).

Příklad 5

Zde bude následovat tentýž příklad , jako předchozí , ale přenesený do prostoru E(4) .

Opět povede na maticový výraz, kde však bude matice typu (1,4) , (4,2) ,  (1,2)  ,  (1,2)

Příklad 6

Zde bude konečně slíbený příklad na výpočet vzdálenosti bodu od třírozměrného prostoru .

Lze realizovat ale až v E(4) a vyšších.

Jelikož i v případě , kdy počítáme vzdálenost bodu od přímky, stačí místo celé přímky uvažovat úsečku délky a, tak podobně i při zjišťování vzdálenosti bodu od roviny stačí uvažovat čtverec o straně a .

A podobně tedy při zjišťování vzdálenosti bodu od třírozměrného prostoru v E(4) stačí uvažovat krychli o straně a .

A proto tomu říkám vzdálenost bodu od krychle , alias při vícerozměrné krychli vzdálenost bodu od hyperkrychle  a pokud věc zevšeobecním, tak do ní mohu zahrnout i případy s menším počtem rozměrů v E(2) a E(3) .

Takže zadání bude vypadat obdobně, jako když je zadán příklad na vzdálenost bodu od roviny , ale v E(4) .

Jediné , co bude „navíc“  , bude to , že body budou mít místo 3 souřadnic souřadnice 4 .

Jinak je postup naprosto tentýž .

Bod M by byl zadán navíc se 4 souřadnicemi, samotná rovina by byla dána 3 body, ovšem se čtyřmi souřadnicemi , my však ,  jak již řečeno výše , místo roviny budeme mít prostor (krychli).

Takže zadání je zde :

Je dán v prostoru E(4) bod M , jehož nejkratší možnou vzdálenost od prostoru (krychle) zjišťujeme :

M  [ 6 , 2 , 12 , 4 ]

Prostor E(3) je v prostoru E(4) zadán těmito čtyřmi body :

A1 [ 1 , 1 , 1 , 1 ]

A2 [ 8 , 5 , 12 , 16 ]

A3 [ 3 , 7 , 16 , 6 ]

A4 [ 16 , 19 , 7 , 22 ]

Takže hledáme opět bod N v krychli na patě kolmice k této krychli alias prostoru  , jež reprezentuje prostor E(3) (kdysi se také říkalo nadrovina či hyperrovina) , který lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů mezi danými 4 body , což je nám známá rovnice 1 :

N = A1 + t1 * (A2-A1) + t2 * (A3-A1) + t3 * (A4-A1) .

Jak vidí pozorná čtenářka , máme tu již dokonce TŘI neznámé parametry t , které nutno vypočíst .

Z praktických důvodů začne být účelné je zapisovat sloupcově .

Sestrojíme tedy příslušné vektory :

(A2-A1) = ( 7 , 4 , 11 , 15 )

(A3-A1) = ( 2 , 6 , 15 , 5 )

(A4-A1) = ( 15 , 18 , 6 ,21 )

Dále dosadíme do výrazu daného rovnicí 1 :

x1(N) = 1 + 7*t1 + 2*t2 + 15*t3

x2(N) = 1 + 4*t1 + 6*t2 + 18*t3

x3(N) = 1 + 11*t1 + 15*t2 + 6*t3

x4(N) = 1 + 15*t1 + 5*t2 + 21*t3

Nyní vyjádříme vektor (N-M) :

N1-M1 =  7*t1 + 2*t2 +15*t3 – 5

N2-M2 =  4*t1 + 6*t2 + 18*t3 – 1

N3-M3 =  11*t1 + 15*t2 + 6*t3 – 11

N4-M4 = 15*t1 + 5*t2 + 21*t3 -3

Nyní použijeme rovnici 3 :

Součiny vyčíslíme po sloupcích a pak sečteme sloučením

((N1-M1) * (A2 1 -A1 1) (nejzazší index bodů Ai značí pořadí souřadnice , první index vždy číslo bodu (v učebnicích používají samostatná písmena bez indexů, ale to není tak výhodné např. při naprogramování výpočtu, jelikož se odehrává v cyklu a tak je nutno označení bodu též indexovat)a pokud je bod bez indexu, tak číslo značí u bodu M,N jen pořadí souřadnice .)

Takže mezisoučty jsou :

(N1-M1) * (A2 1 – A1 1 ) =  (7*t1 + 2*t2 + 15*t3 – 5) * 7

(N1-M1) * (A2 1 – A1 1 ) =( 4*t1 + 6*t2 + 18*t3 – 1) * 4

(N1-M1) * (A2 1 – A1 1 ) = (11*t1 + 15*t2 + 6*t3 – 11) * 11

(N1-M1) * (A2 1 – A1 1 ) = (15*t1 + 5*t2 + 21*t3 -3) * 15

Po roznásobení obdržíme dílčí mezisoučiny :

49*t1 + 14*t2 + 105*t3 – 35

16*t1 + 24*t2 + 72*t3 – 4

121*t1 + 165*t2 + 66*t3 – 121

225*t1 + 75*t2 + 315*t3 – 45

————————————-

A po sečtení obdržíme první rovnici :

411*t1 + 278*t2 + 558*t3 – 205 = 0

Postup opakujeme :

Takže další mezisoučty jsou :

(N1-M1) * (A3 1 – A1 1 ) = (7*t1 + 2*t2 +15*t3 – 5) * 2

(N1-M1) * (A3 1 – A1 1 ) =( 4*t1 + 6*t2 + 18*t3 – 1) * 6

(N1-M1) * (A3 1 – A1 1 ) = (11*t1 + 15*t2 + 6*t3 – 11) * 15

(N1-M1) * (A3 1 – A1 1 ) = (15*t1 + 5*t2 + 21*t3 -3) * 5

Po roznásobení obdržíme dílčí mezisoučiny :

14*t1 + 4*t2 + 30*t3 – 10

24*t1 + 36*t2 + 108*t3 -6

165*t1 + 225*t2 + 90*t3 – 165

75*t1 + 25*t2 +105*t3 – 15

—————————————

A po sečtení obdržíme druhou rovnici :

278*t1 + 290*t2 + 333*t3 – 196 = 0

Takže další mezisoučty jsou :

(N1-M1) * (A4 1 – A1 1 ) = (7*t1 + 2*t2 + 15*t3 – 5) * 15

(N1-M1) * (A4 1 – A1 1 ) =( 4*t1 + 6*t2 + 18*t3 – 1) * 18

(N1-M1) * (A4 1 – A1 1 ) = (11*t1 + 15*t2 + 6*t3 – 11) * 6

(N1-M1) * (A4 1 – A1 1 ) = (15*t1 + 5*t2 + 21*t3 -3) * 21

Po roznásobení obdržíme dílčí mezisoučiny :

105*t1 + 30*t2 + 225*t3 – 75

72*t1 + 108*t2 + 324*t3 – 18

66*t1 + 90*t2 + 36*t3 – 66

315*t1 + 105*t2 + 441*t3 – 63

————————————-

Po sečtení obdržíme třetí rovnici :

558*t1 + 333*t2 + 1026*t3 – 222 = 0

Nyní tyto rovnice znovu opíšeme a přepíšeme z maticového tvaru A*T – L = O opět  maticově ve tvaru A*T = L :

Původní tvar A * T – L = 0

411*t1 + 278*t2 + 558*t3 – 205 = 0

278*t1 + 290*t2 + 333*t3 – 196 = 0

558*t1 + 333*t2 + 1026*t3 – 222 = 0

Upravený tvar A * T = L

411*t1 + 278*t2 + 558*t3 =  205

278*t1 + 290*t2 + 333*t3 = 196

558*t1 + 333*t2 + 1026*t3 = 222

Takže matice soustavy A :

411	278	558
278	290	333
558	333	1026

Vektor neznámých koeficientů T :

t1

t2

t3

Absolutní člen L :

205

196

56

Spočteme inversní matici k matici A  tedy A-1 :

A provedeme násobení absolutním členem a obdržíme neznámý vektor  koeficientů T :

T = A-1 * L

Nyní dosadíme do rovnice (1) a provedeme výpočet bodu N :

Zde již spočteme vzdálenost boduz rovnice (2)  d(M,N) = ((N-M)*(N-M))^.5

Na samý závěr ještě spočteme pro kontrolu dosazením do rovnice (3) výsledek , který se  má rovnat nule , zde však vzhledem k vyjádření na daný počet cifer, jež umožňuje tabulkový procesor s přesnost ína 1E-15 .

Tím je správnost postupu a výpoču jednoznačně dokázána .

Dále dosadíme do rovnice (2)

Příklad 7

Zde si ukážeme , jak lze vypočítat vzdálenost dvou mimoběžných přímek , nejprve v E(3) , pak v E(4)

V E(3) máme dánz přímky dvojicí bodů A1A2 , A3A4 a chceme určit jejich nejkratší možnou vzdálenost.

Takže zadání je následující :

Postup je v zásadě shodný , jako při určování vzdálenosti bod .

Takže na obou přímkách určíme bod M , N , přičemž využijeme opět rovnic 1,2,3 .

To jest jelikož se jedná o nejkratší možnou vzdálenost , musí samozřejmě být tato spojnice současně kolmá na obě přímky .

Takže použijeme rovnici 1:

M = A1 + t1*(A2 – A1)

N = A3 + t2*(A4-A3)

Takže napíšeme dle rovnice 1 :

M = [ 1 +7*t1  , 1 + 4*t1 , 1 – 11*t1 ]

N = [  3 + 3*t2 ,  7 – 5*t2 ,  16 – 4*t2 ]

Dále si připravíme vektor

(A2-A1) = ( 7 , 4 ,11 )

(A4-A3) = ( 3 , -5 ,-4 )

(N-M) =  (2 + 3*t2 – 7*t1 , 6 – 5*t2 – 4*t1 , 15 – 4*t2 – 11*t1 )

Nyní použijeme rovnici 3 :

(N-M) * (A2-A1) = 0

(N-M) * (A4-A3) = 0

 (2 + 3*t2 – 7*t1 , 6 – 5*t2 – 4*t1 , 15 – 4*t2 – 11*t1 ) *  ( 7 , 4 , 11 ) = 0

 (2 + 3*t2 – 7*t1 , 6 – 5*t2 – 4*t1 , 15 – 4*t2 – 11*t1 ) *  ( 3 , -5 , -4 ) = 0

Po úpravě roznásobením obdržíme :

14 + 21*t2 – 49*t1 +24 – 20*t2 – 16*t1 + 165 – 44*t2 – 121*t1 =  0

6 + 9*t2 – 21*t1 – 30 + 25*t2 + 20*t1 – 60 + 16*t2 + 44*t1   = 0

Po další úpravě :

-186*t1 – 43*t2 +203 =0

43*t1 + 50*t2 – 84 = 0

Po úpravě :

186*t1 + 43*t2 = 203

43*t1 + 50*t2 = 84

Můžeme zapsat maticově jako A * T = L

určíme A-1 a pak je T = A-1 * L

Po výpočtu obdržíme :

T = (t1,t2)T = (0.877466 , 0.925379)T

Tedy:

t1 = 0.877466

t2 = 0.925379

Toto dosadíme do rovnice 1 :

Obdržíme :

M = [ 1 +7*t1 , 1 + 4*t1 , 1 – 11*t1 ] = [ 7.142  , 4.510  , 10.652 ]

N = [ 3 + 3*t2 , 7 – 5*t2 , 16 – 4*t2 ] = [ 5.779 , 2.373 , 12.298 ]

Tedy :

M =  [ 7.142 , 4.510 , 10.652 ]

N = [ 5.779 , 2.373 , 12.298 ]

Spočteme vzdálenost s použitím rovnice 2 :

dM,N = 3.024 m

Pro kontrolu správnosti provedeme násobení dané rovnicí 3 :

(N-M) * (A2-A1) = 0

(N-M) * (A4-A3) = 0

Obdržíme součiny :

-1,366*7 -2,137*4 +1,646*1 = 0.000

-9,563 -8,5 – 8,547 +18,110 = 0

-1,366*3 -2,137*-5+1,644*-4 = 0

-4,098 + 10,684 -6,585 = 0

Čímž je doložena správnost výpočtu .

Pozorné čtenářky si jistě povšimly , že výpočetní postup byl naprosto shodný jak pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny, tak i pro výpočet vzdálenosti dvou přímek – mimoběžek .

Je tomu tak.

Pro splnění podmínky, aby byla vzdálenost bodu od roviny ou nejkratší, musí být splněna kolmost vektoru od daného bodu k bodu na patě kolmice a současně na dva vektory , sestrojené mezi trojicí daných bodů roviny .

Zde u odvozování úsečky mezi mimoběžkami s nejkratší vzdáleností se též mechanicky splňuje podmínka kolmosti této nejkratší spojnice na obě přímky . A proto systém rovnic vypadá naprosto stejně .

Podobně tomu bude i v prostoru E(4) a vyšších . O tom v dalším příkladu 9 .

Příklad 8

Zde bude ukázáno , jak určit vzdálenost dvou rovin , nejprve v E(4) , kde obecně vzato  mohou být jak protínající se , tedy různoběžné , dále mimoběžné a dále také rovnoběžné , což je zvláštní případ mezi těmito dvěma mimoběžné polohy. 

Pro určení vzdálenosti rovin budeme uvažovat obecný případ mimoběžných rovin E(2) ) útvarů v prostoru E(4) .

Další příklad 9 bude poněkud opačný , budeme mít v E(4) rovinu a daný bod M a sestrojíme rovinu, jež bude tímto bodem M procházet a bude:

rovnoběžná ,

mimoběžná

různoběžná , tedy protínající se .

 kde mohou být z pochopitelných důvodů jen rovnoběžné (pokud by byl různoběžné, budou se p

rotínat a jsou v tu chvíli ve skutečnosti pouze repezentantem společného prosturu , krychle E(3) ) , pak v E(4) , kde mohou být obecně mimoběžné , ale i rovnoběžné a dokonce i různoběžné , tj. protínat se podobně, jako v E(3)  a ve všech dalších prostorech

Máme dány body :

A1 [ 1 , 1 , 1 ]

A2 [ 8 , 5 , 12 ]

A3 [ 3 , 7 , 16 ]

A4 [ 6 , 2 , 12 ]

A5=[ 1 , 12 , 6 ]

A6=[ 13 , 4 , 5 ]

Body A1 , A2 , A3 definují první rovinu

Body A4 , A5 , A6 definují druhou rovinu

Nyní použijeme rovnici (1) , kterou vyjádříme bod M , jenž bude představovat bod na patě kolmice k první rovině :

M = A1 + t1*(A2-A1) + t2 *(A3-A1)

Dále podobně vyjádříme bod N , jenž bude opět představovat bod na patě kolmice k druhé rovině :

N = A4 + t3*(A5-A4) + t6*(A6-A4)

Nyní pomocí rovnice (3) vyjádříme požadavek vzájemné kolmosti příslušných vektorů :

(N-M)*(A2-A1) = 0

(N-M)*(A3-A1) = 0

(N-M)*(A5-A4) = 0

(N-M)*(A6-A4) = 0