Mexiko v dávné minulosti

Just another WordPress.com weblog

O geometrických vlastnostech známých těles ve vícerozměrném prostoru

V tomhle článku napíši něco o tom, jak se vypočte obsah a povrch tělesa v prostorech o různém počtu rozměrů .

(Další souvislosti zde :

https://aztli.wordpress.com/2013/03/14/linearni-algebra-a-analyticka-a-diferencialni-geometrie-aplikovana-v-geometrii-vicerozmernych-eukleidovskych-prostoru/

Pro zájemce, kteří hledají vzorečky pro prostor E1 , E2 , E3 jsou uvedeny na samém konci včetně jednoduchého odvození

Čtyřrozměrná krychle , zakreslená v E2

 Na obrázku je pro ilustraci schematické znázornění čtyřrozměrné krychle, v prostoru E2 .

Ve skutečnosti, i kdybychom zhotovili drátový model , tak by se ani tehdy nejednalo o obdobu toho, jako když  na dvourozměrném papíře nakreslíme např. v axonometrii třirozměrnou krychli .Důvodem je , že my jako třírozměrní lidé vidíme svět zobrazený na dvourozměrné ploše sítnice, i když zakřivené ,ale jedná se v podstatě o středový průmět na přibližně kulový povrch vnitřku oka-sítnice a jelikož předmět pozorujeme oběma očima, tak jsou  oba středově promítnuté obrazy paralakticky posunuté  a tím, že vnímáme rozdíl paralax, tak se nám v mysli složí prostorový vjem, nicméně tentýž, jako když budeme mít stereoskopickou dvojici snímků. Dokonce , i když budeme pozorovat svět jen jedním okem, tak , jelikož máme s třírozměrným světem své zkušenosti, tak i při neexistenci paralaxy , která se při pozorování  jedním okem nemůže vytvořit, nám naše mysl dosazuje na základě nabitých zkušeností ten jakoby třetí rozměr při finálním vyhodnocení obrazu v mysli .

Tudíž i kdybychom sestrojili drátový model čtyřrozměrné krychle, tak nám paralaxa nepomůže, jelikož nemáme „zkušenosti“ s pobytem ve světě se čtyřrozměrnými prostorovými objekty a tak bychom viděli jen stereoskopický obraz i s oční  paralaxou coby změť obrazu třírozměrných drátů a kdyby nám někdo neřekl, že to je „model“ čtyřrozměrné krychle, a ne bizardní verze třírozměrné krychle, tak to neodlišíme.

Nakonec i sestrojit takovýto objekt může být i s úmyslem jako nějaké verze třírozměrné krychle .

Tudíž bychom viděli obdobu změti čar hypotetické čtyřrozměrné krychle, nakreslené na dvourozměrné ploše papíru .

Takže nakreslit na papír pětirozměrnou krychli resp. čtyřrozměrnou je pro oko stejně neříkající, jako sestrojit drátový model v E3 čtyřrozměrné krychle, nebo pěti rozměrné krychle .

Obojí se nám bude jevit jako nepochopitelná změť , lhostejno zda na dvourozměrném papíře, nebo v třírozměrné místnosti , totéž sestrojené z drátů .

Tělesa, která budu odvozovat, jsou krychle , koule , hranol a válec , jehlan a kužel .

 Obecný tvar pro pythagorovu větu v E(N) rozměrném prostoru je následující :

  

V prostoru E2  : R =( x1^2+x2^2) ^1/2

V prostoru E3  :  R = (x1^2+x2^2 + x3 ^2) ^1/2

v bizardním prostoru E1 by byl vztah pochopitelně   R = (x1^2 ) ^1/2 , to se pochopitelně rovná přímo x1  , jelikož spojnice dvou krajních bodů je současně průmětem do souřadnicové (jediné) osy .

V následujícím prostoru E4 to pochopitelně bude  R = (x1^2+x2^2 + x3 ^2+x4^2) ^1/2

a v jakémkoliv dalším prostoru s počtem N rozměrů  EN bude  R = (x1^2+x2^2 + x3 ^2+x4^2+ ….        ….+xN^2) ^1/2 .

Musí se pochopitelně jednat o prostory s eykleideovou geometrií s nulovým zakřivením prostoru jako takového .

Pozn.: příslušný prostor zde značím písmenem E s indexem . To E proto, že se jedná o tzv. EUKLEIDEOVSKÉ  ( EYKΛEIΔEΣ )  prostory , tj. s takovou metrikou ,kde platí , že ds^2=dx^2+dy^2, tj. má tzv. nulovou geodetickou křivost příslušný prostor . Konkrétně v E2 to znamená  , že poloměr geodetické přivosti v daném bodě získáme ve směru tečny k této ploše , tj. v E2 by ležel přímo v rovině, tudíž  nekonečně veliký .

Obsahem tělesa se bude rozumět ve zobecněném smyslu to , co např. v E1 je „délkou“, v E2 je „plochou, resp. výměrou (jako v KN) , resp. objemem v E3 , čili množina všech bodů , jež je vymezena povrchem .

Povrchem se bude ve zobecněném případě rozumět to, co je krajní, lemující množinou bodů , čili pro E1 to je jen „plocha“ dvou krajních bodů, tedy 0, pro E2 to je vlastně obvod obrazce, pro E3 to je „plocha povrchu v běžném smyslu“, čili jen vnější hranice , jež vymezuje předchozí pojem , obsah .

KRYCHLE :

 

Obrázek , který zde znázorňuje vznik čtyřrozměrné hyperkrychle  , je korektnější  , než obrázek uvedený v záhlaví , jelikož  jednoznačně říká  , že „vyrobíme“ např.  1000 stejných třírozměrných krychlí  (takových , co známe) , přeneseme je do čtyřrozměrného prostoru a seřadíme těsně vedle sebe rovnoměrně podél úsečky o délce a , vztyčené ve směru nového , přibyvšího čtvrtého rozměru , takže ten čtvrtý rozměr znázorňují všechny zakřivené trajektorie , vycházející z každého vrcholu třírozměné krychle  . Tudíž je zde schematicky vidět , že povrch čtyřrozměrné krychle budou tvořit klasické krychle .

Podobně , vezmeme např. 1000 nastřihaných čtverců z papíru a položíme rovnoměrně těsně vedle sebe podél úsečky délky a  a obdržíme papírovou plnou krychli .

Horní obrázek však má evokovat čyřrozměrný uzavřený prostor znázorněný resp. ve třírozměrném , což ale nejde docílit . Prostor jakékoliv hyperkrychle je vždy uzavřen a obklopen E(N-1) rozměrnými „stěnami“ , což prostě nakreslit v rovině E2 , respektive zhotovit  jako drátěný model v E3 nelze , není to totiž bohužel obdoba axonometrie či perspektivy třírozměrné krychle do dvourozměrného plochého papíru .

Jsme  totiž pak v situaci , jakobychom my třírozměrní lidé žili v rovině papíru jako jakési dvourozměrné ploché bytosti (cosi jako Ploštíci ve Flatlandu)  a chtěli přitom třírozměrně vnímat např. axonometricky či perspektivně zobrazenou třírozměrnou krychli na dvourozměrné ploše papíru , ve které bychom současně žili .

Tak proto tedy , abychom mohli vnímat jako jakousi obdobu čtyřrozměrné krychle , znázorněné např. v axonometrii , avšak z drátů , musili bychom nejprve vstoupit do E4 a být si toho 4. rozměru též i  fyzicky vědomi a pak bychom např. model čtyřrozměrné hyperkrychle , axonometricky zhotovený , mohli vnímat jako skutečnou čtyř rozměrnou hyperkrychli , podobně jako , pobývaje ve třírozměrné místnosti , můžeme bez problémů vidět v axonometrii na dvourozměnrném papíře z čar zhotovenou třírozměrnou krychli , ale stejně by zůstal problém se zobrazením objektu na oční sítnici , která je vlastně přibližně povrchem koule  od vnitřku a tudíž je to prakticky vzato zobrazení dvourozměrné , viz vysvětlení výše .

Jakoukoliv krychli dostaneme tzv. tažením celého předchozího obrazce v E(N-1) prostoru ve směru nového  přibyvšího rozměru .

Tj. budeme-li mít prostor E0, tak takovýto bizardní vesmír je tvořen jen jedním bodem a nemá žádný rozměr.

Tudíž obsah i povrch = 0

Tažením bodu ve směru jednoho rozměru, např. kdybychom vesmír E0 přestěhovali do E1, tak docílíme již hrany o dvou vrcholech.

Tudíž obsah je délka hrany a mezi vrcholy A1..A2., povrch je nikoliv samozřejmě  roven 2 ,omlouvám se, měl jsem uvedeno 0 . Dvěma proto , že bod je v jednotkách m^0 =1 a jsou to krajní body, totiž vrcholy úsečky A1 a A2 celkem = 2 kusy .

Krychle v E1: obdržíme ji tažením předešlého útvaru, totiž vrcholu A1 ve směru rozměru a obsah je délka hrany , povrch je 2 , jelikož „délka“ hrany je vymezena „povrchem“, totiž krajními body a jejich „plocha“  je 2 kusy bodů * m^0 = 2 * 1 = 2 .

Krychle v E2: obdržíme ji tažením předchozího útvaru , hrany a mezi vrcholy A1..A2 ve směru dalšího rozměru , obsah je a*a , povrch je to, čemu běžně říkáme obvod, tj. „plocha“ původního obrazce-délka hrany+ta samá přemístěná tažením + počet vrcholů předchozího útvaru, protažených o délku hrany , tedy 2*a+ 2*a,  tedy 4*a

Krychle v E3: obdržíme ji tažením předchozího útvaru ve směru dalšího rozměru, takže předchozí čtverec s hranami mezi vrcholy A1,A2,A3,A4 se přemístí do nové polohy a ve směru tahu vzniknou čtyři nové hrany .

Obsah je to, čemu říkáme v běžné mluvě objem a*a*a a povrch je 2*S(N-1)+P(V)*S(N-1), tj. původní útvar+ tentýž přemístěný + počet vrchlolů, které jsa taženy , vyrobí právě tolik původních útvarů, tedy 6*a*a  .

Krychle v E4: obdržíme ji opět tažením předchozího útvaru ve směru dalšího, tentokrát čtvrtého rozměru . Přemístěním původního útvaru třírozměrné krychle dostaneme opět třírozměrnou krychli a její vrcholy při tažení zanechají „stopy“, tj nové hrany, jejichž počet je roven počtu vrcholů předešlého útvaru, tedy osmi a obsah je a*a*a*a a povrch je roven násobku počtu předchozích útvarů, tj. původní útvar + ten samý přestěhovaný + 8 * tentýž útvar, vzniklý tažením a vymezením takto vzniklých hran, čili povrch čtyřrozměrné krychle je dán 2+8=10  třírozměrnými krychlemi a obsah je dán součinem všech čtyř stran z vrcholu vycházejících . Moc se omlouvám , měl jsem uvedeno jen 8 , již jsem opravil na 10  .

Krychle v E5: postup pro obsah a plochu je týž, obsah bude součin a*a*a*a*a, tedy pro jakýkoliv prostor a^N , kde N je dimenze EN a povrch bude dán násobkem počtu obsahu útvarů předchozí dimenze, tedy 2*obsah N-1 (tedy čtyřrozměrné krychle) + počet těch samých obsahů, násobený počtem všech vrcholů předchozího útvaru v N-1, konkrétně krychle čtyřrozměrná má tedy 16 vrcholů, takže vznikne tažením šestnáct „povrchů“ čtyřrozměrných+dva původní, celkem tedy povrch  pětirozměrné krychle je 18*obsah čtyřrozměrné krychle .

a tak pořád dál do vyšších dimenzí. Ještě dokreslím schematické obrázky .

KOULE :

Koulí se rozumí obecně útvar , pro který platí, že jakýkoliv bod musí ležet mezi středem a nejvýše ve vzdálenosti rovné poloměru .

Čili koule, ať už v jakémkoliv prostoru , obecně vznikne tím, že určíme střed a realizujeme opsání poloměru a sice ve všech možných směrech  , jež jsou kombinací jednotlivých souřadnicových os , příslušné průměty bodů na kouli do jednotlivých os , tedy úseky na nich , jsou pochopitelně směrové cosiny .

Tedy:

(Pro odvozování hyperkoule vlastně stačí vzhledem k symetrii se zabývat jen její částí , která je dána rotací od osy předchozího prostoru k dalšímu novému přibyvšímu rozměru , takže u koule v E1 to bude jen ta jedna úsečka od středu , dále v E2 to bude čtvrtkruh , který obdržíme opsáním poloměru  , naneseného na první souřadnicovou osu a rotací k druhé . I tu „poloúsečku“ v E1 alias hyperkouli vlastně obdržíme podobným způsobem , ikdyž nikoliv na první pohled zřejmým  , od první souřadnicové osy z útvaru v E(0) , která je bodem , přejdeme k následující souřadnicové ose  , která je zde také jedinou měřitelnou a vlastně jen kreslíme poloúsečku . V E(3) to bude osmina koule , kdy vlastně necháme rotovat předchozí čtvrtkruh k nové třetí v pořadí souřadnicové ose v E(3) . V E(4) to bude šestnáctina hyperkoule , kdy uchopíme zhotovenou osminku koule , přeneseme ji do čtyřrozměrného prostoru E(4) a tam tuto osminku klasické koule nechápe rotovat k nové , v pořadí čtvrté souřadnicové ose . Představit si to bohužel nelze , jelikož my jako třírozměrní lidé si sice můžeme třeba ukrojit takto pomeranč (ve směru poledníkové roviny, pak ve směru další , na ni kolmé a pak ve směru rovníkové roviny , ale jak orotovat tento kousek kolem čtrté osy je naprosto nepředstavitelné , jelikož stále se nacházíme s onou osminkou ve třírozměrném prostoru . Musí být prostě do tohoto prostoru E(4) přenesen , tam je již k dispozici onen volný čtvrtý rozměr a kolem něj lze nechat tuto osminku orotovat a obdržíme šestnáctinu hyperoule) .

Koule v E0 :  je pouhý bod a tím poloměrem je R^0 , což vyjadřuje vlastně jako jeden  (kus) bodu a současně je i středem této bodové koule .

Koule v E1 : jsou jen dvě  stejně dlouhé úsečky se společným bodem – středem uprostřed , získali jsme  ji tím  , že jsme nechali rotovat bod na přímce vzhledem ke středu na poloměru R  , což znamená , že jsem jen vyplnily body dvě stejně dlouhé úsečky .

Stačí pochopitelně jen provést „rotaci“ alias posun od středu ve směru délky na zvolenou stranu a celou kouli doplnit symetricky .

Koule v E2 : je kruh , daný opět středem a poloměrem, vznikne rotací předchozího N-1 rozměrného útvaru , tj. poloúsečku o délce R necháme okolo zvoleného středu , rotovat o PI/2 . Tím obdržíme čtvrtkruh a celý obdržíme symetrickým doplěním .

Koule v E3 : je nám známá koule , vznikne opět rotací předchozího N-1 rozměrného útvaru, tedy  čtvrtkruhu rotací o PI/2 ke třetí souřadnicové ose , tedy ve směru nového , přibyvšího třetího rozměru a obdržíme osminu koule  a celou kouli obdržíme symetrickým doplněním .

Koule v E4: již nejde nakreslit ani představit , nicméně vznikne opět rotací předchozího útvaru , osminy třírozměrné koule o PI/2 ke čtvrté souřadnicové ose , tedy ve směru nového přibyvšího čtvrtého rozměru a obdržíme šestnáctinu čtyřrozměrné hyperkoule a celou získáme symetrickým doplněním . Vše se ale realizuje v E4, proto si to nelze představit , prostě musí být předchozí útvar , tedy předchozí , o rozměr nižší , osmina hyperkoule , tedy E(N-1) , tedy zde třírozměrná přenesena do prostoru E(N) , tedy zde čtyřrozměrného a tam se nechá rotovat a symetricky doplnit .

Koule v E(5) : obdrží se stejným postupem , vezmeme šestnáctinu čtyřrozměrné hyperkoule , přeneseme do prostoru E(5) a nechápe rotovat o PI/2 a obdržíme 1/32 pětirozměrné hyperkoule a tu symetricky doplníme .

Tímhle způsobem se pak dá odvodit obsah a povrch jakékoliv hyperkoule .

Pro naše potřeby je , vzhledem k tomu , že vzorečky je nutno odvodit integrováním , tak je výhodnější  použít úvahy tzv. plátkování , tj. např. třírozměrnou kouli v E3 rozřežeme na plátky s proměnlivým poloměrem a ty integrujeme , tedy On(R) =  ∫O(n-1)(R)*(R^2-r^2)*dr v int(-R,R) .

Pro ulehčení je vhodné užít též následující úvahy , jelikož předchozí výraz se obtížně integruje .

Tj. povrch koule si můžeme představit tak, že vezmeme – li dvě soustředné koule , jednu o poloměru R a další kouli o poloměru R, zmenšeném o dR , tak mezi těmito dvěma soustřednými koulemi vznikne „slupka“ o tloušťce dR .

Když se dR bude blížit k nule, tak se nekonečně tenká kulová slupka ztotožní s povrchem koule, její objem bude 0.

Tudíž logickou úvahou je, že povrch koule je derivací obsahu koule podle poloměru , tedy S = dO/dR             -*)  

( jen pro první tři dimenze E1,E2,E3 nazývám povrch a obsah „lidskými“ názvy , jež vytvořili  třírozměrní lidé .)

Můžeme vyzkoušet pro E3 .

Tedy ds = 4*PI*R^2 , dO = S * dR , tedy O =  ∫(4*PI*R^2)dR  v int. (0-R ) .

Integrál bude po dosazení známých 4/3*PI*R^3 . Je vidět, že úvaha funguje .

Dále můžeme předpokládat, že obecný tvar pro objem hyperkoule bude : O(En) (R) = Cn*R^n  .

Tuhle úvahu si můžeme dovolit proto , že :

v E0 je útvarem koule bod a obsah je 0 , tudíž C0 = 0

v E1 je útvarem koule úsečka , její délka = 2*R , tudíž C1 = 2

v E2 je útvarem koule kruh , jeho obsah = PI*R^2 , tudíž C2 = PI

v E3 je útvarem koule běžná koule , obsah je 4/3*PI*R^3 , tudíž C3 = 4/3*PI

Čili obsah i povrch koule v E0 je samozřejmě 0 .

Obsah koule v E1 je délka úsečky, tedy O = 2*R , povrch koule v E1 jsou krajní body úsečky , tedy S = 2  **)

Obsah koule v E2 je plocha kruhu tedy O = PI*R^2 , povrch koule E3 je to , čemu se říká obvod, tedy S = 2*PI*R  .

Obsah koule v E3 je objem , tedy O = 4/3*PI*R^R3 , povrch koule v E3 je tím, čím se taky obvykle nazývá  tedy S = 4*PI*R^2 .

Odvození pro obsah a povrch koule pro prostor v E4 a následující prostory s větším počtem rozměrů :

Jelikož , jak bylo předesláno v úvaze *) , tedy povrch E(N ) rozměrné koule je derivací obsahu E(N) rozměrné koule podle poloměru R , tudíž stačí odvodit buď jen vztahy pro obsah a pak pouhou derivací odvodíme povrch , resp. odvodíme univerzálně povrch a pak integrací přes poloměr R odvodíme obsah . Zde jsem předeslal vztahy pro obsah , tudíž budeme drivovat pro každý prostor zvlášť, vždy podle poloměru R , je to „jednodušší“ .

Obsah koule v E4                                 O = 1/2*PI^2*R^4 , povrch P = dO/dR , tedy  4*1/2*PI^2*R^3 , po úpravě 2*PI^2*R^3

Obsah koule v E5                                 O = 8/15*PI^2*R^5povrch  P = dO/dR , tedy 5*8/15*PI^2*R^4 , po úpravě   8/3*PI^2*R^4

Obsah koule v E6                                 O = 1/6*PI^3*R^6  , povrch P = dO/dR , tedy 6*1/6*PI^3*R^5 , po úpravě    1*PI^2*R^4 = PI^2*R^5

Obsah koule v E7                                 O = 16/105*PI^3*R^7 , povrch P = dO/dR , tedy 7*16/105*PI^3*R^6 , po úpravě   16/15*PI^3*R^6

Obsah koule v E8                                 O = 1/24*PI^4*R^8 , povrch P = dO/dR , tedy 8*1/24*PI^4*R^7 , po úpravě   1/3*PI^4*R^7

 Je vidět, že vždy dva prostory po sobě jdoucí mají společnou mocninu u PI , tedy PI^0 pro E0 a E1 ,PI^1 pro E2 a E3 ,

PI^2 pro E4 a E5 , PI^3 pro E6 a E7 , PI^4  pro E8 a E9 atd . Mocnina čísla PI bude společná jak pro povrch, tak pro obsah

 Pozn.: v odvození pro povrch označeném **)  je uvedeno poněkud překvapivě , že „povrch“ „koule“ v E1 = 2 .

Jelikož pozorná čtenářka jistě ví, že povrch i obsah se obvykle vyjadřuje v „nějakých“ jednotkách , jistě si položí otázku , „čeho“ je výsledek 2 , tj. v jakých jednotkách .

Odpověď je, že v bezrozměrných jednotkách ,  jež zde v tomto bizardním vesmíru E1 představují pouze dva krajní body (které jsou pochopitelně bezrozměrné) .

Ve skutečnosti, když si situaci nakreslíme, a to si můžeme dovolit, tak prostor E1 je pouhá přímka . Na ní je zvolen střed a okolo něj „opsán“ poloměr . Obdržíme dvě polopřímky , tedy úsečky se společným středem , které mají stejnou délku = R . Pochopitelně dvojice úseček se společným „středem“ má dva krajní body .Povrch hyperkoule je pochopitelně to , „uvnitř“ čeho je vymezen  obsah .  (Asi jako kružnice , coby obvod kruhu , vymezuje plochu kruhu , která je „obsahem v E2) .

Můžeme pro kontrolu provést derivaci obsahu dle poloměru , tedy dO/dR = d(2*R)/dR = 2 .

Jelikož povrch koule v v E(N) je dán výrazem C(E(N))*R^(N-1) , tak pochopitelně když v E1 je obsahem funkce poloměru povýšená na 1 , tak povrch je funkce poloměru povýšená na nultou  , tudíž jelikož krajní množinou je bezrozměrný útvar, totiž jeden „levý“  a jeden „pravý“ krajní bod , je výraz naprosto korektní . Říká totiž , že povrchem přímky jsou  dva kusy krajních bodů a jelikož body jsou bezrozměrné , tak metrický rozměr se mění ve skalár , tedy v bezrozměrnou , bodovou veličinu , totiž m^0 (metr na nultou = jedna , tedy 1)

Samozřejmě ,že 2 * m^0 je totéž po úpravě jako 2*1 a to je 2 .

A to číslo 2 , získané pro kontrolu derivací obsahu dle poloměru , což je vlastně výhodná definice povrchu koule , jen říká, kolik je „kusů“ těch krajních bodů , rozměrově nevyjadřitelných , pouze konkrétním počtem .

Ještě dopíši kompletní odvození pro obsah obecné hyperkoule v En – rozpracovánoJIŽ DOKONČENO .

Připomenu , co se vlastně hledá : tedy takový vztah , který umožní výpočet obsahu n – rozměrné hyperkoule , který označíme O(En)(R) , jako funkce poloměru R .

Tenhle postup je pochopitelně výhodnější proto, že pak jednoduchou derivací obsahu dle poloměru R (a je lhostejno , kolika rozměrné hyperkoule) , obdržíme povrch .

Tedy :

 O(En)(R) =  ∫ O(En-1)((R^2-r^2)^1/2)dr  , v int <-R;R>                        rovnice (1) , pozn. tenhle vztah je odvozen z obsahu klasické koule v E3 . viz obrázek

čili spočteme obsah n – rozměrné hyperkoule integrováním obsahů n-1 rozměrných hyperkoulí , jejichž poloměr závisí na jejich vzdálenosti od středu n – rozměrné hyperkoule .

Pro třírozměrnou kouli to znamená konkrétně její integraci přes n-1 rozměrné útvary , tedy zde kruhy .

Dále si můžeme dovolit na základě předchozích úvah pro prostor E1 , E2 , E3 předpokládat obecný tvar pro obsah hyperkoule v En :

O(En)(R) = cn * R^n        rovnice (2)

Tohle předpokládat je sice jednoduché , ale dokázat to je spíše pracné  .

V grafických přílohách psaných ručně je již odvození pro E(4) a E(5) , jehož výsledky zcela  korespondují se těmito úvahami , jež jsou odvozeny bez pracného výpočtu integrálů spíše intutitivně

Nicméně , jelikož jsem uvedl , jak vypadá obsah pro kouli v E0 , E1 , E2 , E3 , tak můžeme psát : c0 = 1 , c1 = 2 , c2 = PI , c3 = 4/3*PI . Čili máme výrazy pro první tři konstanty .

Sice jsem uvedl i pro E0 ,  ale to je triviální (jelikož obsahem tohoto „vesmíru“ alias prostoru je pouhý jediný bezrozměrný bod ). Čili jen pro pořádek , který se bude „hodit“ při přehlídce posloupnosti tvarů násobných konstant  , jimiž se násobí poloměr hyperkoule . To ,že konstanta v bodovém vesmíru s žádným rozměrem má hodnotu C0 = 1 , není zas až tak zřejmé , sice jsem celou dobu uváděl 0 , ale není to nula , odvození uvedu až v závěru .

Rovnici (1) můžeme přepsat pomocí vztahu daného rovnicí (2) do upraveného vztahu , tedy

jelikož platí O(En)(R) = cn* R^n , tak samozřejmě platí O(En-1)(R) = cn-1*R^(n-1)

pak bude  O(En)(R) =   ∫ cn-1*(((R^2-r^2)^1/2))^(n-1)*dr  ,  v int <-R;R>   rovnice (3)

čili jsme upravili výraz pro obecný tvar vzorce obsahu koule (tak jak nám zkušenost říká , že by měl vypadat) (2) a dali do něj o stupeň menší odmocninu .

Ten jsme dosadili za část výrazu v rovnici (1) a jelikož chceme obsah zobecnit pro n-rozměrný prostor (té hyperkoule) , tak musíme výraz pod odmocninou jako celek povyšovat na n-1

 Můžeme udělat malý příklad pro kouli a její obsah v E3 :

O(E3)(R) =  ∫ cn-1*(((R^2-r^2)^1/2))^(n-1)*dr  ,  v int <-R;R> , po úpravě a dosazení:

O(E3)(R) =  ∫ c(3-1)*(((R^2-r^2)^1/2))^(3-1)*dr  ,  v int <-R;R> 

O(E3)(R) =  ∫ c(2)*(((R^2-r^2)^1/2))^(2)*dr  ,  v int <-R;R> , po úpravě se výraz ve vnitřní závorce(pythagorova věta) , jež je má čtverce poloměrůpod druhou odmocninou a jako celek povýšena na druhou (jelikož jsme v E(3-1)) , tak se vyruší (druhá odmocnina , je zde v E3 současně na druhou)

obdržíme :

O(E3)(R) =  ∫ PI * (((R^2-r^2)^1/2))^(2)*dr  ,  v int <-R;R> 

O(E3)(R) =  ∫PI*(R^2-r^2)*dr  ,  v int <-R;R> 

O(E3)(R) =  PI*∫ (R^2dr -∫r^2*dr  ,  v int <-R;R> po integraci a dosazení mezí obdržíme : 

 O(E3)(R) = PI(R^3-(-R)^3) -PI*(1/3*R^3-1/3*(-R)^3) , po úpravě

 O(E3)(R) = 2*PI*R^3 -PI/3*2*R^3 , po úpravě

 O(E3)(R) = 6/3*PI*R^3 -2/3*PI*R^3 = 4/3 * PI * R^3                  

a to je známý vztah , který nám tímto odvozením vyšel , což kromě jiného dokazuje , že použité úvahy nemusí být špatné .

Tím jsme především ověřili tvar  rovnice (3)

To samé by šlo udělat i pro kouli v E2 , tam bude pochopitelně konstanta c2 = 2 a pythagorova věta pro poloměry bude mít triviální tvar .

Tu můžeme upravit na následující tvar tím , že konstantu vytkneme před integrál a u pythagorovy věty sloučíme exponenty (znásobíme exponenty u výrazu ((…) ^(1/2))^(n-1) = (…)^((n-1)/2)

tedy :

O(En)(R) =  c(n-1)*∫ (R^2-r^2)^((n-1)/2)*dr  ,  v int <-R;R>                  rovnice (4)

Odvodit integrál z této funkce jde pro prostor E2 docela snadno , ve vyšších rozměrech to však bude již pracnější .

Viz konkrétní příklad zde pro poloměr ukázkové koule v E2 (tedy kruhu) R=2 (m) , v ukázce výpočtu integrálu je užito označení proměnné, podle které integrujeme jako x a její diferenciál dx  , namísto výše a níže uvedené proměnné r a jejího diferenciálu dr  :

docu0321

A zde je týž příklad pro kouli (kruh) v E2 , zde zobecněný pro poloměr R (s tradičním označením proměnných x a diferenciálu dx)  :

docu0322

(Malá poznámka : Integrál z kruhu v E2 z této rovnice tedy ∫ (R^2-x^2)^(1/2)*dx  tak lze spočítat snadno s užitím trigonometrické substituce a vyjde (R^2)/2*(arcsin (x/R)) + x/2*((R *x^2)^(1/2)) , přičemž  podobné výrazy by se v každém dalším vyšším rozměru při použití tohoto integrálu pak jen řetězily , do přílohy dám v brzké době ručně psané odvození pro E2 , E3 a E4 případně E5 ,  E6 , nerad píši integrály editorem)

Ještě jednou tedy princip, jak vzniknou konstanty , zde zatím uveden jeden způsob a sice rekurzivně na základě zkušenosti, s jakou se násobky a mocniny čísla  PI objeví , podobně jako mocniny poloměru dle dimenze daného prostoru .

To samé však vyjde i pečlivým dosazením do výrazu pro integrál , který vyjadřuje kouli předchozí dimenze a pochopitelně, že je nutno do příslušného integrálu vyšší dimenze též „dodat“ příslušnou mocninu a násobek čísla PI z předchozího o jednu dimenzi menšího útvaru .

Bohužel se takto matematika nevyučuje a ačkoliv je to vlastně zřejmé , tak se to příliš v klasických učebnicích nezdůrazňuje , zkrátka příčinou „vzniku“ mocnin a násobků PI je okolnost, že ve vesmírech s lichým  počtem rozměrů (E1, E3 , E5 a dalších) je mocnina pro poloměr vždy v sudém stupni, takže neumožní vygenerovat příslušné kombinace funkcí arcus sinus , které mají „na svědomí“ objevení se příslušného PI . A jelikož , když budeme výraz  PI*∫ (R^2-x^2)^(1/2)*dx aplikovat například pro výpočet obsahu koule v E3 , tak musíme zcela automaticky integrál již opatřit příslušným násobkem a mocninou čísla PI , zde tedy 1 krát PI na prvou, kterou jsem převzali z útvaru koule E2 (tedy v lidské řeči kruhu) , kde PI je jedenkrát  , a po integraci se objeví pak ještě příslušný násobek PI .

Takže při přechodu z vesmíru E3 na E4 se díky okolnosti , že je výraz (R^2-x^2)^(1/2) povýšen na lichou mocninu , nové PI objeví a přidá se jako násobek , dohromady tedy mocnina spolu s PI převzatým z útvaru E3 koule . A dále při přechodu z E4 do E5 se opět další PI neobjeví (je totiž povýšen onen výraz (R^2-x^2)^(1/2) na sudou mocninu a integrací nevznikne nic složitého , co generuje arcus siny.

Takže princip vzniku mocnin je jasný :

V prostorech se sudým počtem rozměrů je vždy odmocnina (R^2-x^2)^(1/2) povýšena na N-1 (což je liché číslo), kde N je počet dimenzí prostoru, ve kterém odvozujeme a pochopitelně odmocnina na lichý počet automaticky generuje arcus siny a ta jsou příčinou vzniku nových mocnin PI .  

V prostorech s lichým počtem rozměrů je naopak výraz (R^2-x^2)^(1/2) povýšen na sudou mocninu a ta nové PI nemá „z čeho“ vygenerovat .

A proto tedy také mají koule v prostorech E(N) stejnou mocninu čísla PI vždy v sudém a následujícím lichém a ne naopak .

Čtenářky si určitě vzpomenou, že při odvozování obsahu koule E3 se vzal PI násobek (je z koule předchozí dimenze)  , dal se před integrál a ona odmocnina (R^2-x^2)^(1/2)* se povýšila na druhou , jinými slovy se „vyrušila“ a řeklo se, že se vlastně sečtou nekonečně tenké plátky (kruhy) , proměnlivého průměru dle funkce y = (R^2-x^2)^(1/2) jako obdoba výpočtu válce, kde „výšku“ hraje integrální součet přes dx v intervalu x1,x2 , rádo se neuvádí, jak totéž počítat, kdy to „rotuje“ kolem osy Y, tak postupy jsou v zásadě tři, buď vyjít z jiného diferenciálního vztahu pro „plátek“ alias subútvar a použije se právě šikovná úvaha , že povrch je derivací obsahu podle poloměru , nebo druhá možnost, která je obdobou počínání automechanika při opravě části auta pod podlahou (buď ležet na zemi, nebo přetočit auto o pravý úhel a stát u něj , to jest , můžeme přeznačit osy souřadnic a pak říkat, že nikoliv že je y funkcí x, ale x je funkcí y (ovšemže z inversní funkce) a integrovat přes dy , nebo třetí možnost, překreslit danou funci jako  inversní do „obvyklého“ systému os , musí vyjít totéž , dokonce to na některých VŠ  i ve skriptech doporučují jako jednu z možností , nebo dokonce čtvrtá možnost , vnímat ji inversně, ale místo psát pro tuto chvíli důsledně, x je f(y) přesto zůstat u běžného označení (asi jako počítáme-li kouli, je jedno, kde je umístěn střed  , prostě musí vyjít stále stejný povrch i obsah, ostatní je jen trpělivé přepsání do funkcí, jež nutno integrovat) , možností je dostatek.

Ale tvůrci skript bohužel dále myšlenku již nerozvedli , že takto se postupuje stále stejně až do prostorů libovolné dimenze .

Nyní dále k jednoduššímu odvození :

Místo toho použijeme raději již dříve zmíněného výrazu  *) , tedy povrch koule je derivací obsahu podle jejího poloměru ,

tedy S(En) = dO(En)/dR      rovnice (5)

 Pochopitelně také z toho vyplývá i obrácený vztah :

O(En) = ∫ S(En)(s) * ds v int <0;R>    rovnice (6)

Ve výraze v této diferenciální rovnici se sice objevuje místo očekávaného vztahu dO(En) =  S(En) * dR po dopsání znamének integrálu , tedy ∫ dO(En) = ∫  S(En) * dR , po úpravě dO(En) = ∫  S(En) * dR , proměnná s a integrace podle jejího diferenciálu ds , ale to je proto , že  musíme integrovat podle konkrétní proměnné , jež probíhá v intervalu od 0 do R (tj. od středu koule do vzdálenosti dané poloměrem R) a pak je pochopitelně R konstantou (poloměrem koule a tu proměnnou je nutno jen nějak označit  – technické opatření) .

Bude tedy platit po úpravě :

dO(En)(R)/dR =  d(cn-1*∫ (R^2-r^2)^((n-1)/2)*dr  )/dR ,  v int <-R;R>    rovnice (7)            , pozn. ten interval se vztahuje k integrálu v závorce, který derivujeme .

čili jsme vlastně do diferenciální rovnice (5) dosadili integrál , vyjadřující obsah koule pomocí integrace řezů na pravé straně v rovnici (4) a a ten je derivován dle poloměru R  jak je uvedeno v rovnici (5) .

 po úpravě :

dO(En)(R)/dR =  cn-1*∫d (R^2-r^2)^((n-1)/2)*dr  )/dR ,  v int <-R;R>  rovnice (8)

 zde jsme vlastně vytkli konstatu pro kouli jako variaci PI před integrál a samotný integrál jsme dali před derivaci , čili tak , jako lze počítat derivaci z integrálu, tak lze současně počítat integrál z derivace a je to totéž .To samozřejmě za předpokladu , že se jedná o funkce, jež to umožňují (hodné) a funkce vyjadřující kouli jí bezesporu je .

pak obdržíme :

dO(En)(R)/dR =  cn-1*∫(n-1)/2* (R^2-r^2)^((n-3)/2)*2*R*dr  ,  v int <-R;R>     rovnice (9)

po úpravě : 

 dO(En)(R)/dR =  (n-1)*cn-1*R∫ (R^2-r^2)^((n-3)/2)*dr   ,  v int <-R;R>          rovnice (10)

jelikož jsme derivovali funkci vnější (R^2-r^2)^((n-1)/2) a ta ještě obsahuje funkci vnitřní R^2-r^2 , tak proto se pochopitelně při derivaci obecný tvar x^n sníží v exponentu o jednotku a funkce sama se násobí číslem, vyjadřujícím onen exponent , ta vnitřní funkce naprosto podobně a protože uvnitř závorky je také parametr r tak ten se derivací podle R mění v nulu jakožto konstanta , dále jsme zderivovaný výraz vnitřní funkce 2R vykrátili proti (n-1)/2 a ponechali před integrálem R .

Integrál v rovnici (10)  je při pohledu  na rovnici (4) obsah koule v prostoru o dva rozměry menší , pro jistotu jej zde uvedu ještě jednou . 

O(En)(R) =  c(n-1)*∫ (R^2-r^2)^((n-1)/2)*dr  ,  v int <-R;R>                  rovnice (4)

Proto můžeme napsat další rovnici :

∫ (R^2-r^2)^((n-3)/2)*dr  , v int <-R;R>   =  O(En-3)/cn-3      rovnice (11)

protože víme , že platí rovnice (2)  , pro jistotu ji napíši znovu , O(En)(R) = cn * R^n        rovnice (2)

můžeme dále psát :

O(En-2)(R) = cn-2 * R^(n-2)             ,  což je jen upravená rovnice (4

Tento výraz dosadíme do rovnice (10)

a obdržíme :

P(En) = dO(En)(R)/dR = (n-1) * cn-1 * cn-2/cn-3 * R^(n-1)                rovnice (12)

 

A nyní jen provedeme integraci dle postupu v rovnici (6)

O(En) = ∫ S(En)(s) * ds v int <0;R>   =  ∫ (n-1) * cn-1 * cn-2/cn-3 * S^(n-1)*ds     v int <0;R>   = (n-1)*cn-1*cn-2/cn-3*(s^n/n)   v int <0;R> , odtud po úpravě obdržíme

O(En)  =  (n-1)/n*cn-1*cn-2/cn-3*R^n           rovnice(13)

 Nyní jsme tedy dokázali , že tvar výrazu pro obsah hyperkoule v En má opravdu tvar :   O(En) = cn*R^n    

Pochopitelně , že to cn máme ovšem vyjdřené ve tvaru cn-1*cn-2/cn-3

Ale protože známe tři po sobě jdoucí konstanty (vlastně první čtyři , i když ta úplně první je triviální) , tak lze spočítat jakoukoliv další konstantu :

cn = (n-1)/n*cn-1*cn-2/cn-3                 rovnice(14) 

Když si dle uvedeného vztahu vypočteme alespoň prvních deset konstant , můžeme uvedený vztah zjednodušit dle následujícího vztahu :

jelikož c1 = 2 , c2 = PI , lze zjednodišit :

cn = 2*PI / n * cn-2                           rovnice (15)

Tuhle rovnici můžeme napsat s ohledem na okolnost , že je alespoň pro jednu dvojic  c splněna , tedy c3=4/3*PI , c1 = 2 , po dosazení nám vyjde 4/3*PI/2 = 2*PI/3 .. platí

tudíž můžeme rovnici (15) použít v upravené rozvinuté formě :

cn = (n-1)/n*cn-1*cn-2/cn-3 = (n-1)/n*2*PI/(n-1)*cn-2 = 2*PI/n*cn-2      rovnice (16)

Nyní odvodíme konstanty pro vesmír se sudým počtem rozměrů a pak s lichým počtem rozměrů .

Na ten účel se ještě pokusíme zjistit , proč c0=1 , není to tak samozřejmé .

 Pro sudá čísla platí n=2*k , pro lichá čísla 2*k+1

Pak    c2*k = 2*PI/(2*k)*2PI/(2*k-2)*2*PI/(2*k-4) …. *2*PI/2*c0             rovnice (17)

 Pak c2*k+1 = 2*PI/(2*k+1)*2*PI/(2*k-1)*2*PI/(2*k-3)….*2*PI/1*c1                rovnice (18)

 po úpravě :

c2*k = PI^k /k!                  pro prostory se sudým počtem rozměrů                   rovnice (19)

c2*k+1  = k!*/(2*k+1)! * 2^(k+1) * PI ^k                 pro prostory s lichým počtem rozměrů                   rovnice (20)

 

Takhle lze nyní snadno odvodit , jak bude vypadat obsah hyperkoule v En rozměrném prostoru a povrch lze velmi snadno provést jednoduchou derivací dle poloměru R 

 Když se nad věcí zamyslíme , tak podobně , jako u krychle v EN prostoru je povrch její tvořen EN-1 rozměrnými útvary , tedy krychle v E3 má povrch daný čtverci E2 ,krychle v E4 má povrch daný E3 krychlemi (běžnými , jak je známe) ,  tak podobně u hyperkoule je , vzhledem k souvislému zaoblení každý bod EN koule pokryt EN-1 útvary o nekonečně malém poloměru  , jež tvoří v souhrnu povrch . Tedy konkrétně koule v E3 má povrch , tvořený body , ve skutečnosti pokryt EN-1 , tedy E2 koule , což jsou  kruhy – o nekonečně malém poloměru .

A koule v E4 má tudíž povrch tvořený v každém bodě E3 koulemi (běžnými, jak je známe) , o nekonečně malém poloměru .

 Dále , řezem hyperkoule obecně v prostoru E(N) obdržíme hyperkouli E(N-1)  , tudíž řezem3-rozměrné koule budou kruhy , řezem 2-rozměrné koule – kruhu , budou 1-rozměrné koule alias úsečky a řezem 4-rozměrné hyperkoule budou 3-rozměrné koule a tak dále do všech vyšších rozměrů .

Zde je odvození vztahu pro výpočet obsahu hyperkoule v E(4) , kde výpočet opravdu dosvědčuje , že násobná konstanta a *PI^b vychází stejně, jako v intutitivně rekursivním odvození výše na počátku .  

 docu0324

pokračování :

docu0326

Ještě bude dodán výpočet pro hyperkouli v E5 , E6 , E7 a pro kontrolu příslušné derivace obdržené funkce po integraci .

docu0335

 A ještě výpočet integrálu pro E6 :

docu0336

JEHLAN  a KUŽEL :

Obrázek a úvahy od něj odvozené platí pro obdobu čtyřbokých jehlanů se čtvercovou podstavou , zobecněnou na prostory E(N) .

Samozřejmě , že lze vyjít i od útavarů v E(2) s libovolným počtem hran , až limitně ke kružnici .

Tudíž postup bude vždy týž , vezme se podstava v E(N-1) prostoru , ta se doplní posunutím v témže prostoru o libovolnou vzdálenost  , čímž obdržíme hyperhranol a přenese se tento do E(N) prostoru a zde se kolmo na tuto hyperzákladnu(kterou tvoří hyperhranol z E(N)-1) ,  sestrojí kolmo výška , obdržíme vrcholový bod a ten propojíme s každým vrcholovým bodem hyperzákladny a obdržíme hyperjehlan .

V limitním případě tedy bude oním hranolem válec , zobecněně hyperválec a ten , jelikož má nekonečně mnoho vrcholů , tak se nicméně po jeho přenesení do E(N) prostoru po sestrojení vrcholového bodu propojí s každým vrcholem hyperzákladny , jichž je nekonečný počet a obdržíme hyperkužel  .  

Jehlan obecně získáme v jakémkoliv prostoru o N dimenzích jednoduše realizací podstavy jakožto N-1 rozměrného útvaru a stanovením vrcholového bodu takového, který neleží v podstavě , ani v hyperrovině, v níž současně leží podstava a posléze propojením vrcholů dané podstavy s tímto vrcholovým bodem .

Jehlan v E0 : je pouhý bod, tudíž O = 0 , S = 0

Jehlan v E1 : je úsečka a její obsah O = a , tedy přímo délka podstavy , povrch S = 1 .

To proto , že v tomto bizardním prostoru je podstava v jednotkách m^0=1 a ta jednička představuje 1, tedy jeden kus bodu .

Tudíž 1(kus-bod , který tvoří podstavu) m^0 * a / 1 = 1 *a/1 = a .

Co se týče povrchu , tak jím je nikoliv zřejmě  jen ten bod podstavy , tedy 1 . Měl jsem dříve napsáno S = 0 , ale tak to není , ani  S = a  , délka a , jež je i výškou , jen jediný bod v jednotkách m^(N-1) = m^(1-1) = m^0 = 1 .

Ta délka , jež v tomto bizardním E1 prostoru jakoby splývá s povrchovou přímkou , tak to být nemůže , jelikož délka je v E1 jednorozměrným útvarem a má charakter obsahu , tudíž povrch musí být dán veličinou EN-1 , tedy E1-1 = E0 útvar a to je bezrozměrný bod podstavy , tedy 1 jako jeden kus (bezrozměrný , tedy 1 m^0 .

Jehlan v E2 : je to , co se běžně nazývá trojúhelník , obsah O = (základna * výška )/2 , povrch je zde vlastně obvod trojúhelníku S = a+b+c

Jehlan v E3 : je tím, čím se běžně jehlan rozumí, obsah = (základna * výška) /3 , povrch získáme sečtením N-1 rozměrných obrazců , tedy dvourozměrných „stěn“ v tomto prostoru, jejichž počet je dán počtem vrcholů základny v E(N)

Jehlan v E4 : nelze si z pochopitelných důvodů představit, nicméně obsah získáme opět jako (základna * výška) /4 , povrch je opět součtem N-1 rozměrných obrazců , tedy třírozměrných stěn , jejich počet je opět dán počtem vrcholů zde třírozměrné podstavy , avšak ve čtyřrozměném prostoru.

Pozorné čtenářky si jistě povšimly, že pro obsah platí :

E1 : (základna*výška)/1 – jelikož  „základnu“ tvoří pouhý bod (jeho obsah jako N-1 rozměrného tělesa = 1 (jako jeden kus , tedy metr^1-1 = metr^0=1 (kus) , výška je tvořena délkou  oné úsečky v E1 , je tedy z pochopitelných důvodů roven přímo délce ,  tak výsledek je vlastně ((základna=1)*výška /1 = 1*výška/1 = výška , tedy obsah je roven přímo výšce , alias délce úsečky .

E2 : (základna*výška)/2

E3 : (základna*výška)/3

E4 : (základna*výška)/4

Čili je na první pohled vidět, že číslo, jímž je nutno součin základny a výšky dělit ,  je přímo počtem dimenzí prostoru E(N)

Tato úvaha platí samozřejmě i pro kužel .

Jelikož si totiž můžeme kužel v E3 představit jako n-boký jehlan s nekonečným počtem hran a výsledek vede opět na stejný vztah, (základna * výška )/3 , tudíž pro odvození jeho obsahu platí v N-rozměrném prostoru to, co pro jehlany , tj.  násobí se základna tohoto předmětu (N-1 rozměrný útvar) s výškou čnící do N  tého rozměru a dělí se číslem N, tj. počtem rozměrů daného prostoru .

Obecně řezem jehlanu kolmo na osu v E(N) prostoru obdržíme vždy útvar , který je obdobou podstavy v E(N-1) prostoru , tj. např. v E(2) to budou úsečky , od největší (základny trojúhelníku až po bezrozměrný vrcholový bod , v (E3) to budou plošné útvary , např. čtverce od největšího , základnového až po vrcholový bod , jak bylo použito v grafickém znázornění a opět jako celek vyplní jehlan a tak stále do vyšších rozměrů , čili v E(4) to budou hranoly (v grafickém znázornění krychle) a po přenesení do vyššíc rozměrů hyperkrychle , obecně hyperhranoly .  

Tudíž řezem např. čtyřrozměrného hyperkužele obdržíme třírozměrné válce , od největšího , základnového až postupně se zmenšující až k vrcholovému bezrozměrném bodu .

HRANOL A VÁLEC

Hranol získáme tažením N-1 rozměrného útvaru , – hyperzákladny ve směru dalšího rozměru , tj. „výšky“ .

Čili :např.

Hranol  v E1  bude to, čemu obvykle říkáme přímka, jelikož N-1 rozměrnou“podstavu “ bude bod , která je v E(1-1) , tedy v E0 pouhým bodem a tažením bodu v E1 získáme tedy přímku .

Hranol  v E2 získáme tažením E1 rozměrné „podstavy“ ve směru druhého rozměru , ale vyjde nám pochopitelně to čemu obvykle říkáme obdélník , jelikož  „podstavou“ v E1 jsou  dvě úsečky se společným „středem .

Hranol  v E3 získáme tažením E2 rozměrné „podstavy“ ve směru třetího rozměru , tj. v E2 je „podstavou “ to , čemu obvykle říkáme n-úhelník“ a tažením tohoto n-úhelníku   obdržíme tedy klasický n-boký hranol .

A pochopitelně hranol  v E4 získáme tažením hrsanolu z E(3) ve směru čtvrtého rozměru , tj. v E3 je hranolem to , co tak i také obvykle nazýváme a vznikne nám čtyřrozměrný hyperhranol .

To samé můžeme limitně zobecnit na hyperválec , jelikož od prostoru E(2) můžeme jako podstavu sestrojit nejen n-úhelník , ale nekonečně mnohoúhelník  , což je kružnice a tu přeneseme do E(3) , posuneme o výšku a tím obdržíme  n-boký hranol , v limitním případě válec .

Když tento n-boký hranol , resp. válec , přeneseme do E(4) a posuneme jej o výšku , obdržíme 4-rozměrný hyperhranol , resp. 4-rozměrný hyperválec .

A tak můžeme pokračovat do stále vyšších rozměrů .

Pro obsah bude vždy platit, že jej získáme jako součin N-1 rozměrné podstavy , tedy „koule“ a výšky ve směru jejího tažení v N rozměrném prostoru .

Pro povrch válce zase bude platit, že jej získáme jako součet 2 * obsah  „podstavy“  N-1 rozměrného útvaru  a pláště , který získáme jako součin povrchu N-1 rozměrného útvaru podstavy , násobený výškou . Konkrétně v E3 je obsahem podstavy to , co nazýváme plochou kruhu a povrch podstavy je vlastně to ,čemu říkáme obvykle obvod a ten je pochopitelně N-2 rozměrným útvarem .

Takže v E2 by obsahem „válce“ byla klasická plocha obdélníku a povrchem válce by byl součet „dolní“ a „horní“ podstavy, což jsou dvě úsečky , a dále „výškou“ tažený „povrch“ podstavy“, tedy povrch té úsečky a to je pochopitelně pouhý vrchol úsečky , čili celkově dvě úsečky, vzniklé tažením bodů do „výšky“ , tedy, délka úsečky podstavy a dvě povrchové přímky , celkem tedy obvod obdélníku .

 Takže v E3 je obsahem součin podstavy a výšky , povrchem je 2 * podstava + 1* plášť , tedy

obecně : 2 * obsah N-1 rozměrného útvaru (podstavy) +  1* obvod N-1 rozměrného útvaru (obvod kruhu -podstavy) ,  násobený výškou ve směru N – tého rozměru .

Řezem kolmo na výšku hranolu , ale i válce v E(N) prostoru obdržíme hyperhranol , resp. hyperválec z prostoru E(N-1) , , což je obdoba při odvozování hyperkrychle , kde např. nekonečně mnoho dvourozměrných čtverců vyplní krychli , podobně nekonečně mnoho třírozměrných krychlí , položených podél výšky (rovné hraně krychle) vytvoří hyperkrychli v E(4) .

———————————————————————————————————————–

Vztahy pro jednoduchá tělesa v E2 , E3

Pozn. Pokud někdo hledá odvození např. plochy elipsy v E2 , tak zde je :

PLOCHA ELIPSY

Stačí si nakreslit kruh a vedle elipsu , v ní vyznačit poloosy a,b , totéž v kruhu , ale r,r .Dále zaměnit v elipse např. poloosu a za poloměr r .

Napsat limitu , když b->r pro P = PI*R^2 , ten výraz rozepsat na P=PI*R*R , nahradit jedno písmeno označující  poloměr R za b a napsat limitu jako : Lim (b->r) :PI*R*b a po dosazení vyjde PI*R*(b=R) = PI*R*R a jelikož limita , jak vidno vychází očekávaným způsobem, tak znovu napsat P=PI*R*R , za jedno R dosadit b(jež jsme ověřili limitou) a za druhé R dosadit a (jelikož jsme položili poloměr kruhu rovný např. velké poloose elipsy), dostanem pak P=PI*(a=R) * (b=R) , po úpravě P=PI*a*b . To a tam můžeme automaticky dosadit proto, že můžeme za poloměr dosadit cokoliv a pochopitelně , jelikož součin je symetrický , tak to co platí pro odvození limity b jdoucí k R  , tak pochopitelně také platí odvození limity pro a jdoucí k R .

OBVOD ELIPSY 

Vztah pro obvod elipsy bohužel nejde odvodit podobnou úvahou, jelikož se spojitě mění poloměr křivosti od poloosy a k b .

Jediný efektivní způsob je napsat vztah pro elipsu  a diferenciální změnu a rozvést v Taylorovu řadu , postačí první 2 , resp. tři členy a ty pak integrovat člen po členu a sečíst a tím obdržet přibližný vzoreček . 

Čili x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 , vezme se vztah pro excentricitu , tj. e^2= a^2-b^2 , dále použijeme modifikovaný vztah ε^2= (a^2-b^2 )/a^2

Potom se dosadí do Taylorovy řady , jejíž členy se zintegrují a obdržíme : Obvod = 2*PI*a*(1- ε^2/4 + členy vyšších řádů ) , po úpravě Obvod = 2*PI*a*(1-1/4*(a^2-b^2 )/a^2 – 3/64*(a^2-b^2 )^2/a^4) , takhle vychází délka velmi přesně , na osm platných cifer.

Z přibližného vztahu , odvozeného integrací členů Taylorovy řady je nicméně dobře vidět , že základní tvar výrazu je O = 2*PI*a*(…) , kde výraz 2*Pi*a je obdoba obvodu  kruhu  , kde poloměr R = a . Výraz v závorce představuje  korekci vlivem  „nestálosti“ poloměru křivosti , tj. jinými slovy říká, jak se spojitě mění poloměr křivosti elipsy  od a k b  .

Pozn. Pokud někdo hledá odvození povrchu kužele (s kruhovou podstavou a vrcholem v jeho ose) , tak je rovněž zde  :

POVRCH KUŽELU

Stačí si uvědomit, když budeme kužel stále „snižovat“ , tj. jeho výška ->0 , tak povrchová přímka se současně bude blížit poloměru podstavy .

A podstava kužele je sama o sobě zvláštním případem kužele, jehož výška je rovna 0 .Pak plocha „pláště“ tohoto „kužele“ bude rovna ploše podstavy, tedy PI*R^2 , rozepíšeme jako PI*R*R .

A jelikož současně povrchová přímka tohoto  „kužele“ o výšce rovné 0 (nula)  bude poloměrem podstavy , tak můžeme napsat P=PI*R*S .

A jelikož jsme ověřili, že toto platí pro podstavu, kruh, tak totéž  platí i pro plášť  .

 Pro eliptický kužel , tj. takový , který získáme z kruhového „zmáčknutím“ ale tato úvaha bohužel neplatí , jelikož naráží na podobné obtíže, jako při odvození obvodu elipsy . To zmáčknutí je ovšem jen přirovnání , jelikož kdybychom vzali kužel s kruhovou podstavou, budeme mít všechny povrchové přímky stejně dlouhé . Jenže u eliptického kužele právě nejsou stejně dlouhé .

Tudíž „zmáčknutím“ klasického kruhového kužele by došlo k „vyboulení povrchu“

Tj. v každém obvodovém bodě je jiné „R“ , jež se spojitě mění od b  k a . Proto nelze použít limitní přechod ve vztahu O = 2*PI * R , jelikož to R tu je konstantní (v kruhu) , a my musíme „dodat“ do vztahu O= 2 * PI * f(R) , kde f(R) je funkce, jež „řídí“ plynule spojitě přeměnu a k b . Uvedený vztah f(R) je eliptický a vede na tzv. eliptický integrál a ten není bohužel vyjádřitelný konečným počtem primitivních funkcí .

A podobně povrchová přímka eliptického kužele je rovněž spojitě se měnící veličinou od S(a) k S(b) , takže je do vztahu , který by byl obdobou P = PI*R*S  nutno „dodat“ O = PI * f(s(a)) * g(s(b)) , tj. v místo R*S (obojí konstantní po celém obvodu kužele klasického kruhového)  „dát“  f(S(a)) , g(S(b)) .

A funkce jež toto řídí je opět nepříjemný eliptický integrál , jako v předešlém .

Dostaneme zkrátka tak, jako u klasického kruhového kuželu, kde jsme obdrželi kruhovou úseč, tak její eliptickou obdobu .

Jenže spočítat plochu části elipsy není jednoduché proto, že naráží na problém délky obvodu , resp. části obvodu, který nelze vyjádřit konečným počtem primitivních funkcí (eliptický integrál nelze explicitně zintegrovat).

Spočíst plochu části elipsy je , kromě triviálních případů, obtížné stejně a ze stejných důvodů, jako její obvod, resp. část obvodu.

Tím triviálním případem myslím případ, kdy se jedná o úseč mezi malou a velkou poloosou , jejíž plocha je přesně 1/4 * PI*a*b .

Ale úseč mezi dvěma obecnými průvodiči , resp. mezi jednou z poloos a obecným průvodičem opět nelze explicitně určit, než prostřednitvím eliptického integrálu, který lze rozvést v Taylorovu řadu a zintegrovat člen po členu .

Plocha pláště eliptického válce je sice triviální , ale opět je nejprve nutno spočíst obvod elipsy přibližným způsobem a pak přenásonit výškou .

Reklamy

Únor 17, 2009 - Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů

komentářů 6 »

  1. Milý Milane, byl jsem mile překvapen nalezením Tvého pojednání, ovšem narazil jsem – zatím na jednom místě – na poněkud zmatečnou informaci v odstavci o čtyřrozměrné krychli. Cituji:
    „… povrch je roven násobku počtu předchozích útvarů, tj. původní útavar + ten samý přestěhovaný + 8 * tentýž útvar, vzniklý tažením a vymezením takto vzniklých hran, čili povrch třírozměrné krychle je dán 8 třírozměrnými krychlemi …“
    Neměl by ten odstavec znít spíš takto:
    „… povrch je roven násobku počtu předchozích útvarů, tj. původní útavar + ten samý přestěhovaný + 8* tentýž útvar, vzniklý tažením a vymezením takto vzniklých hran, čili povrch čtyřrorměrné krychle je dán 2+8 třírozměrnými krychlemi, tedy 10a^3…“ ?

    komentář od Éósforos | Květen 19, 2009

  2. Dobrý den , je to opravdu tak , jak říkáte , já jsem to vše psal z hlavy a často jsem se pak k tomu vracel (tj. občas si to po sobě přečetl) a když se mi něco nezdálo , tak jsem leccos opravil , ale tohle jsem přešel , pochopitelně že jich je 10 kusů . Tak se nezlobte .
    Psát články mne moc baví , ale bohužel musím také vydělávat peníze , ač nerad a tak se k mnoha věcem zkontrolovat je dostanu jen zřídka .
    Na shledanou
    Milan , Aztli

    komentář od aztli | Květen 20, 2009

  3. Dobrý den,
    zrovna včera jsme se s přítelem bavili o 4D a myslím si, že „pouhé“ tedy mechanické přenesení E geometrie do 4D nefunguje (Vy si ji dáváte jako podmínku), i když to umíme(te) odvodit (z potřeb vzniklých v 3D) integrálů a derivací. Myslíme si, že z prostého předpokladu, že 4-tý rozměr by měl být kolmý na všechny 3 osy v 3D, by mohl být 4-tý rozměr něco jako prostor mezi dvěmi koulemi s totožným středem (je to ten nejjednodušší). V tomhle prostoru by se pak krychle jevila jako komolý jehlan se spodní plochou vypouklou dle r od středu a horní plochou vypouklou dle r+v(v=výška).
    Otázka je, kde je střed 4D. Pokud není pevný (což předpokládám), pak ex. zřejmě nekonečno 4D prostorů. Ale obecný výpočet deformace 4D jde určitě odvodit.
    S pozdravem Fr.

    komentář od Fr. Polansky | Květen 21, 2009

  4. Dobrý den , určitě jde deformace odvodit , ale já jsem záměrně vybral eukleidovskou geometrii prostoru proto, že se s ní nejlépe pracuje, protože s ní máme zkušenost na Zemi .
    Jinak samozřejmě i blízké okolí Země nejspíš je jen přibližně eukleidovské a jelikož určitě je zakřivění prostoročasu , tak je otázka , jakou má architekturu .
    Ve skutečnosti dodnes ještě s určitostí se neví , jakým způsobem je vesmír zakřiven , jelikož to závisí na skryté hmotě , takže může i být, že v různých oblastech vesmíru může být i různé zakřivení do vyšších rozměrů . Navíc mám za to , že na zakřivení třírozměrného prostoru je zapotřebí nejen čtvrtý rozměr , kolmý na každý ze tří předchozích , ale ještě dva další , s podobnými vlastnostmi .
    Tak když na něco přijdete , tak o tom napište , také se rád dozvím něco nového .
    MK AZTLI

    komentář od aztli | Květen 21, 2009


Zanechat Odpověď

Vyplňte detaily níže nebo klikněte na ikonu pro přihlášení:

WordPress.com Logo

Komentujete pomocí vašeho WordPress.com účtu. Odhlásit / Změnit )

Twitter picture

Komentujete pomocí vašeho Twitter účtu. Odhlásit / Změnit )

Facebook photo

Komentujete pomocí vašeho Facebook účtu. Odhlásit / Změnit )

Google+ photo

Komentujete pomocí vašeho Google+ účtu. Odhlásit / Změnit )

Připojování k %s

%d bloggers like this: