Řešení Schroedingerovy rovnice , The solution of Schroedinger equation

Tento článek je o názorném postupu při řešení Schroedingerovy rovnice .

Zde se bude jednat o úlohu , kdy máme nalézt amplitudu kvantové pravděpodobnosti v prostoru , vymezeném např. prostorem uzavřené krabice .

Jedná se o tzv. kvantování energie .

Tudíž je třeba vyřešit tuto rovnici pro částici o určité energii E , jejíž pohyb je elektrickým potenciálem V omezen na oblast prostoru  ,vymezenou zde např. krabicí délky L .

 E ψ(x) = –h^2 /2*m * d^2ψ(x)/dx^2 + V(x) * ψ(x)

Proto zde figuruje pro jednoduchost a názornost pouze souřadnice x . h je Planckova konstanta , zde sice jako značená jako h , ale míněna jako h s pruhem . 

Zde budeme uvažovat případ , kdy se elektron může pohybovat pouze v jednom směru  , nikoliv ve všech třech , pro jednoduchost odvození .

Tedy délka omezeného prostoru je L , takže částice se může vyskytovat v bodech  mezi x € (0,L) . Potenciál mimo prostor vymezený krabicí je nekonečný , tudíž stačí uvažovat rovnici bez potenciálového členu :

 E ψ(x) = –h^2 /2*m * d^2ψ(x)/dx^2

Abychom zjistili , jaký tvar mají přípustná řešení rovnice , provedeme určité  úpravy .

Zavedeme novou proměnnou

k^2  =   2 * m * E / h^2

Po úpravě je tedy :

 d^2ψ(x)/dx^2 =   – k^2 ψ(x)

Tudíž

 ψ(x) = A * sin(k*x) + B * cos (k*x)

A , B jsou libovolné konnstanty .

Řešení , jež hledáme , musí splňovat okrajové podmínky , tj. kvantová amplituda se musí nacházet v intervalu  x € (0,L) .

Budeme hledat řešení v bodě x = 0 :

tudíž

 ψ(x=0) = A*sin(k*0) + B*cos(k*0) =A*0 +  B*1 = B = 0

Takže konstanta B se musí rovnat 0 .

Budeme hledat řešení v bodě x = L :

tudíž

ψ(x=L) = A*sin(k*L) + B*cos(k*L) =A*sin(k*L) +  0*cos(k*L) = A*sin(k*L) + 0 = A*sin(k*L) = 0

Požadujeme , aby A bylo nenulové a to lze jen tehdy , když druhý z činitelů , tedy sin(k*L) = 0

sin (k*L) = 0 tehdy , když argument k * L je    roven 0 a to je tehdy , když  n* π = k * L , jelikož  funkce sinus celistvých  násobků π  = 0 .

Takže po úpravě obdržíme :

k  =   n* π / L , kde n je celé číslo  .

Dále : E = h^2 * k^2 / 2*m

po úpravě je

E = n^2*π ^2 * h^2 / 2 * m * L ^2 .

Odtud tedy vyplývá kvantování energie , tj . její velikost je určena kvantovým číslem n .

Zde jsme vlastně určili , které vlnové délky se vejdou do uzavřeného prostoru délky L .

Konstantu A lze určit takto :

Součet pravděpodobmostí nalezení částice v uzavřeném prostoru délky L je čtvercem vlnové funkce v daném bodě výskytu .

Tudíž :

∫ ψ(x) ^2 dx = 1 v inervalu (0,L)

Dosadíme  vlnovou  funkci :

ψ(x) = A * sin(k*x) , tedy ∫ ψ(x) ^2 dx = ∫ A^2 * sin ^2(k*x) dx =  A^2 *  ∫  sin ^2(k*x) dx .

————————————————

∫sin² x dx = ½ x − ¼ sin 2x + C

————————————————

 

Po úpravách vyjde

 

  A^2  /k * ( k*x/2 – sin(2*k*x)/4) , po dosazení integračních mezí 0 , L , je vidět že pro x = 0 je celý výraz roven 0 , po dosazení x=L

 

vyjde  :

 

 A^2 *(L/2 – 1/k * sin (2*k*L)/4*k)

 

jelikož je  k  =   n* π / L

 

obdržíme po dosazení :

 

 A^2 *(L/2 -sin(2*n*π *L/ L)/4)

 

a jelikož celistvý násobek n* π pro funkci sinus je vždy 0 , zbyde po úpravě jen první člen , tedy:

A^2 *L/2 a tot je výsledek integrace a ten se musí rovnat 1 ,

 

tedy

 

A^2 *L/2 = 1 , odtud hledaná konstanta A = (2/L)^1/2 .

 

Pak kvantové vlnové funkce v uzavřeném prostoru délky L mají tvar :

 

 

 ψn((x)) =  (2/L)^1/2 * sin (   n* π / L) , kde n je celé kladné číslo .

 

Pokud bycho odvozovali tutéž rovnici pro dvourozměrný a třírozměrný prostor , budemem postupovat naprosto stejně , navíc budou vlnové funkce vynásobeny příslušnými směrovými kosiny .

 

Totéž by šlo zobecnit i pro N rozměrný prostor .

 

Zde se jednalo o nekonečně hlubokou pravoúhlou potenciálovou jámu .