Mexiko v dávné minulosti

Just another WordPress.com weblog

Diferenční rovnice

Občas se s nimi setkávám, na většině vysokých škol se nevyučují, kromě diferenciálních rovnic existují samozřejmě také diferenční rovnice a jejich řešení je obecně podobně složité, jako u diferenciálních rovnic.

Takže zde uvedu pár příkladů, které občas mají studenti těch škol, kde se s nimi setkávají, při svých zkouškách .

Konkrétně zde nejvíce se vyskytující lineární diferenční rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty.

Řešení spočívá nejprve ve výpočtu kořenů charakteristické rovnice, což pro druhý řád je snadné, pro třetí a čtvrtý obtížnější, ale v obecném případě od 5. řádu včetně neexistuje již žádný algoritmus, kterým by bylo lze vyjádřit exaktně řešení.

Po stanovení kořenů napíšeme přímo obecné řešení homogenní rovnice se zkrácenou pravou stranou a stanovíme partikulární řešení, které se pokusíme uhodnout, je asi lepší , vybrat více členů i s vědomím, že nejčastěji se některé neuplatní, než jej odhadnout úsporně a pak počítat od začátku s rozšířenými členy. Za členy partikulárního řešení n dosadíme postupně n=n+2, n=n+1, n=n+0, ponásobíme, posčítáme a výslednou rovnici vnímáme jako součet tolika dílčích rovnic, kolik je stupňů n a řešíme podobným způsobem, jako u integrálu, kde rozkládáme na partiální zlomky, případně jako u lineárních diferenciálních rovnic druhého a vyšších řádů se speciální pravou stranou. Vyřešíme neurčité koeficienty a máme partikulární řešení a obecné řešení úplné diferenční rovnice je součtem obecného řešení rovnice se zkrácenou pravou stranou plus partikulárního řešení (což je obdoba partikulárního integrálu u lineárních diferenciálních rovnic druhého a vyšších řádů se speciální pravou stranou) .

 Tak ještě nějaké přidám.

 

 

 

další

další

 

další

další

další

další

další

další

další

další

další příště 

 

 

 

 

Celý příspěvek

Květen 2, 2015 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů | Napsat komentář

NĚKTERÉ NEURČITÉ INTEGRÁLY A JEJICH ŘEŠENÍ

V tomhle příspěvku bude ukázáno, jak se dají řešit některé zdánlivě jednoduché, ve skutečnosti dosti pracné integrály.

Jsou psané ručně, jelikož mi přijde lepší je ponechat psané ručně, tak trochu to napoví, co vše je třeba i souběžně učinit, pomocí editoru „to není ono“.

docu0665 

Nyní další :

 

docu0667

 

A další :

 

docu0669

 

A další:

 

docu0671

 

a další :

Září 10, 2014 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů | Napsat komentář

PŘEHLED VYPOČTENÝCH PŘÍKLADŮ Z INTEGRÁLNÍHO POČTU

V tomto příspěvku bude pro zájemce mající vyšší matematiku souhrn příkladů z integrálního počtu , při kterém se použijí nejrůznější metody pro výpočet .

Jsou vesměs ručně psané včetně grafického zázornění funkce .

Příklad 1

docu0070

 

Grafické znázornění průběhu funkce , k níž hledáme určitý integrál :

 

 

 

docu0071

Příklad 2 :

docu0032

 

Grafické vyjádření k příkladu 2

docu0040

 

 

Příklad č. 3a)

 

docu0039

 

Příklad 3b)

docu0043

Grafické vyjádření

docu0044

Příklad č. 4

docu0031

Příklad č.5

docu0050

grafické znázornění :

 

docu0051

Příklad č. 6

docu0049

A další příklady

 

Listopad 21, 2013 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů, Různé | , , , , , , , | Napsat komentář

PŘÍKLADY NA URČENÍ NEURČITÉHO INTEGRÁLU

Příklad 2 :

∫ ((arcsin(x))/(1-xˆ2))ˆ(1/2) dx =

abychom se zbavili nepříjemného výrazu pod odmocninou , je nutno umět „nasahnout“ funkci , za niž položíme náhradu , substituci a tou bude zde arcsin (x) , jelikož využijeme situace , že ve jmenovateli v integrandu  je přímo její derivace , což je nutno nejprve rozpoznat .

Zavedeme substituci u = (arcsin(x) )ˆ(1/2)              (*)

upravíme uˆ2 = arcsin(x)

zderivujeme

2*u *du = 1/ (1-xˆ2)ˆ(1/2) *dx

Odtud dosadíme do původního výrazu :

∫ u*2*u*du = 2*uˆ2*du =

2*∫uˆ2*du = 2*(uˆ3)/3 = 2/3 *(uˆ3)

Do tohoto výrazu dosadíme zpět to , co bylo položeno v substituci (*)

———————————————————————————————————————————–

 2/3 *((arcsin(x) )ˆ(1/2))ˆ3 = 2/3 *((arcsin(x) )ˆ(3/2))    (**)

—————————————————————————

a to je výsledek výpočtu .

Po kontrole derivací výrazu (**)

2/3 *3/2 * ((arcsin(x) )ˆ(3/2-1)) *1/(1-xˆ2)ˆ(1/2) = ((arcsin(x) )ˆ(1/2)) *1/(1-xˆ2)ˆ(1/2) =

((arcsin(x))/(1-xˆ2))ˆ(1/2) jsme dostali původni výraz .

Příklad 6

∫ (tg(x))ˆ2 dx = 

Výraz , aby šel vůbec určit ,rozšíříme o 1 a tuto zároveň odečteme  , takže obdržíme :

∫ (1 + (tg(x))ˆ2 + 1) dx = 

dále upravíme tentro integrand přeskupením na součet dvou integrálů :

∫ (1 + (tg(x))ˆ2) dx  – ∫ 1 dx = 

V prvním členu integrálu přepíšeme tg x = sin x / cos x 

∫ (1 + ((sin(x))ˆ2)/ ((cos(x))ˆ2)) dx = 

a převedeme na společný jmenovatel :

obdržíme tak :

∫ ((cos(x))ˆ2) + ((sin(x))ˆ2)/ ((cos(x))ˆ2)) dx = 

a to je  po úpravě v čitateli trigonometrickou jedničku , takže obdržíme :

∫ (1 /  ((cos(x))ˆ2)) dx =

A tento výraz je již přímo derivací pro funkci tg x , takže

∫ (1 /  ((cos(x))ˆ2) dx = tg x

Druhý člen integrálu je triviální ,

∫ 1 dx = x

Takže obdržíme výsledek

∫ (tg(x))ˆ2 dx =  tg x – x

Kontrolou derivací tohoto výrazu obdržíme pochopitelně původní integrand .

Tedy (tg x – x ) ´= 1 / ((cos(x))ˆ2) – 1 , převedeme na společný jmenovatel a obdržíme :

(1 – ((cos(x))ˆ2))/((cos(x))ˆ2)

Výraz v čitateli rozepíšeme zase pomocí trigonometrické jedničky , tedy :

((sin(x))ˆ2) + ((cos(x))ˆ2) – ((cos(x))ˆ2) = ((sin(x))ˆ2)

Takže obdržíme výraz , kde v čitateli bude ((sin(x))ˆ2)

ve jmenovateli bude ((cos (x))ˆ2) ,

tedy

((sin(x))ˆ2)/((cos (x))ˆ2) = ((tg(x))ˆ2) .

 A to je náš původní výraz , který jsme měli zintegrovat

Říjen 24, 2013 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů, Různé | Napsat komentář

Návod , jak u nepříjemných výrazů si poradit s určením limity funkce

Například budeme mít výraz

y = x/((1+3*x)^(1/2)-1) a máme určit jeho limitu , když  x→ 0

tedy píšeme

lim( x→ 0) :  x/((1+3*x)^(1/2)-1) = Y

Vhodné je si funkci nejprve nakreslit , její průběh , dále v tabulkovém procesoru si udělat dva sloupce , do prvního si napsat x , do druhého uvedený výraz a naprogramovat jej do buňky pro daný výraz  a zkusit dosazovat hodnoty, jež se budou blížit 0 . Například nechat dosadit 1 , pak 0.1 , pak 0.01. 0.001 a zjstit , jak se vyvíjí funkčí hodnota.

Dosazením uvidíme , že se blíží k číslu 2/3 .

Takže toto je jen kontrola , že danou limitu jsme určili správně (pokud jsme ji již vypočetli) a co tedy máme očekávat.

A nyní k vlastnímu řešení .

Je vidět, že žádný rozklad ani jiné triky nepomohou , takže nezbývá, než se pokusit zjistit, co na funkci „zlobí“ .

Je to pochopitelně výraz ve jmenovateli, přičemž jednička , je konstantou, s tou nic nenaděláme , takže jen se soustředit na výraz

(1+3*x)^(1/2) .

Je dobré si uvědomit, že nás budou zajímat jen čísla blízko nuly, Takže obdržíme výraz druhá odmocnina z (1+ něco) , kde něco je číslo v int. 0 , 1.

Tedy nahradíme 3*x = z (něco)

Takže například (1+0.44)^(1/2) bude 1.2 , tedy (1+0.2) přibližně (1+0.22) chyba  0.02

Dále například (1+0.21)^(1/2) bude 1. , tedy (1+0.1) , přibližně (1+0.105) , chyba 0.005

A ještě například (1+0.1025)^(1/2) bude 1.0500 , tedy (1+0.0500) , přibližně (1+0.05125) chyba 0.00125

Z příkladů je vidět, že čím blíže bude výraz  „téměř“ jedna, tím stále přesněji bude platit , že druhá odmocnina z malého čísla  blízkého jedničce se rovná jedničve a polovině onoho malého čísla .

Tedy obecně (1+z)^(1/2) bude  (1+z/2) , když z jde k nule .

Takže můžeme již dosadit za z = 3*x a obdržíme místo nepříjemné odmocniny 3*x/2

Takže nyní již dosadíme do původního výrazu a obdržíme :

x/(1+3*x/2 – 1) = x / ((3*x)/2) = x * 2/(3*x) = (2*x) / (3*x) 

Výraz x vykrátíme a obdržíme 2/3 , což je ona limita , kterou jsme měli určit . 

Totéž nám vyšlo i dosazováním v tabulkovém procesoru pro stále bližší hodnoty x jdoucí k nule .

Poznánka  : odmocnina z výrazu (1+z)^(1/2) s využitím úvahy , že se jedná o čísla,  kde z se blíží k nule,  jde použít obecně pro odmocniny kteréhokoliv stupně .

Pak bude tedy platit :

(1+z)^(1/n) = (1+z/n)

A podobné triky při výpočtu limit  se musí užívat dle okolností , když ostatní selže .

Květen 12, 2013 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů, Zajímavosti z Mexica | , , , , , | Napsat komentář

Návod , jak u nepříjemných funkcí se vypořádat s derivací aneb něco pro studenty , mající vyšší matematiku

V tomhle článku malý návod, jak vyřešit derivaci nepříjemných funkcí .

Dost se s tím setkávám , že si s tím lidé nevědí rady , a přitom řešení je velmi jednoduché .

Například :

Příklad 1:

y = x^x

y´= ?

Tak tyhle funkce vlastně nejdou vůbec derivovat v pravém slova smyslu .

Musí se na to „oklikou“ .

Stačí si uvědomit, že například 8 = e^(ln(8))

to má tu výhodu, že jeliko ž funkce e^x se derivací nezmění , taktímto jednoduchým trikem dostaneme do mocnitele onu nepříjemnou fuknci a šikovná inversní funkce ln(x)  „zařídí“ , že se zbavíme nepříjemné mocniny .

(protože píši “ v řádku“ budu důsledně závorkovat)

Tím pádem jediné, co je k derivování, je to co zbyde v mocniteli . A nic více .

Takže praktický postup :

Nejprve zapíšeme

z = x^x

Tudíž

z = e^(ln(z))

Tedy po dosazení

z = e^(ln(x^x))

Po úpravě  která zařídí , že zmizí nepříjemná mocnina , obdržíme :

z = e^(x*ln(x))

A od této chvíle se budeme zabývat pouze touto upravenou funkcí

Dále

y = e^z , tudíž 

y = (e^z)´ = (e^(ln(z))) * dz

Tedy rozepíšeme

y´= ( e^(x*ln(x)) )* dz   (1)

dz = d(ln(z))/dx = d(x*ln(x))/dx

toto je součin dvou funkcí , tedy (u * v)´= u´* v + u * v´

Tedy:

u = x , u´= 1

v = ln(x) , v´= 1/x

dosadíme :

1 * ln(x) + x * 1/x = ln(x)+1

Tedy dz = ln(x)+1

Nyní dosadíme do výrazu (1):

y´= e^(x*ln(x)) * dz

y´=(e^(x*ln(x))) * (ln(x)+1) = (x^x)´

Tudíž derivace funkce  x^x, tedy

 (x^x)´ = (e^(x*ln(x))) * (ln(x)+1)

—————————————————————————————————-

Příklad 2:

y = x^n

y´= ?

Sice se bohužel místo odvození lidem vnutí cosi jako „kuchařka“ , tzv. tabulkové derivace, ale tím se zatemní způsob , jak se k oné derivaci ve skutečnosti dojde.

Takže se sice napíše, jakoby bez  odvození y´= n*x^(n-1) .

Ovšem , neplatí to jen pro celá čísla  ale i pro jakákoliv .

Nicméně ve skriptech to bývá po delším hledání „někde“ uvedené“ .

Takže postup je podobný.

opět položíme :

z = e^(ln(z))

přičemž

z = x^n

Obdržíme :

z  = e^(ln(x^n))

po úpravě obdržíme :

z = e^(n * ln(x))

Takže tento výraz derivujeme :

tedy

y´ = (e^z)´= e^z * dz 

z = n*ln(x)

pak derivací obdržíme :

z´= n*1/x = n/x

Dosadíme :

y´= (e^(ln(x^n))) * n/x

Nyní dosadíme zpět za výraz e^(ln(x^n)) = x^n

Obdržíme :

y´ = (e^(ln(x^n))) * n/x = (x^n) * n/x = n * x^n * 1/x = n * x^n * x^(-1 ) = n * x ^(n-1)

tedy

y = x^n

y´= n * (x ^(n-1))

Pochopitelně to bude platit i pro nejen celá čísla , ale i jakákoliv , tedy racionální i irracionální(pro ty samozřejmě limitně, jelikož nemůžeme znát všechny číslice irracionálního čísla, má jich nekonečně) .

Příklad 3

y = (sin(x))^(cos(x))

y´= ?

Opět položíme :

z = e^(ln(z))

přičemž

z =(sin(x))^cos(x))

Obdržíme :

z = e^(ln((sin(x))^(cos(x)))

po úpravě obdržíme :

z = e^((cos(x)) * ln(sin(x)))

Nyní mocnitel položíme :

t = (cos(x)) * ln(sin(x))

Takže obdržíme :

z = e^t

tento výraz derivujeme :

tedy po derivaci obdržíme :

t´ = (e^t)´= e^t * dt

Nyní vyjádříme :

dt = d((cos(x)) * ln(sin(x)))/dx

Jedná se o součin funkcí, takže jako derivaci součinu :

(u*v)´= u´* v + u * v´

Položíme :

u = cos(x) , u´= -sin(x)

v = ln(sin(x)) , v´= (1 /sin(x))  *  cos(x) = cos(x)/sin(x)

Po dosazení obdržíme :

-sin(x) * ln(sin(x)) + cos(x) * cos(x) / sin(x)

Nyní zapíšeme do původního výrazu :

t´ = (e^t)´= e^t * dt

tedy:

(e^((cos(x))*ln(sin(x)))) * (-sin(x) * ln(sin(x)) + cos(x) * cos(x) / sin(x) )

což  je výsledek výpočtu tedy:

y =(sin(x))^(cos(x))

y´= (e^((cos(x))*ln(sin(x))) * ((-sin(x)) * ln(sin(x)) + (cos(x))^2 / (sin(x)))

Příklad 4

y = (cos(x))^(sin(x))

y´= ?

Opět položíme :

z = e^(ln(z))

přičemž

z =(cos(x))^sin(x))

Obdržíme :

z = e^(ln((cos(x))^(sin(x)))

po úpravě obdržíme :

z = e^((sin(x)) * ln(cos(x)))

Nyní mocnitel položíme :

t = (sin(x)) * ln(cos(x))

Takže obdržíme :

z = e^t

tento výraz derivujeme :

tedy po derivaci obdržíme :

t´ = (e^t)´= e^t * dt

Nyní vyjádříme :

dt = d((sin(x)) * ln(cos(x)))/dx

Jedná se o součin funkcí, takže jako derivaci součinu :

(u*v)´= u´* v + u * v´

Položíme :

u = sin(x) , u´= cos(x)

v = ln(cos(x)) , v´= (1 /cos(x)) * -sin(x) = -sin(x)/cos(x)

Po dosazení obdržíme :

cos(x) * ln(cos(x)) + sin(x) * -sinc(x) /cos(x)

Nyní zapíšeme do původního výrazu :

t´ = (e^t)´= e^t * dt

tedy:

(e^((sin(x))*ln(cos(x)))) * (cos(x) * ln(cos(x)) – sin(x) * sin(x) / cos(x) )

což je výsledek výpočtu tedy:

y =(cos(x))^(sin(x))

y´= (e^((sin(x))*ln(cos(x)))) * ((cos(x)) * ln(cos(x)) – (sin(x))^2 / (cos(x)))

 

 

Příklad 5

y = 10^x

y´= ?

Opět položíme 10^x =  e^(ln(10^x))

a ten podobně přepíšeme tak , že exponent mocnitel x jako argument funkce logaritmu napíšeme jako násobek logaritmu svého mocněnce .

A obdržíme  10^x =  e^(x * ln(10))

A budeme derivovat jen již tuto upravenou funkci . A protože současně došlo k zajímaé situaci , kdy po odstranění nepříjemného x z exponentu v argumentu logaritmu zbyla k „logaritmování“ jen konstanta 10 , tak vlastně část výrazu je též celá konstanta , totiž ln 10 .

Takže derivací funkce e^(x * ln(10)) vlastně budeme jen derivovat samotné x , násobené konstantou ln(10), co že sprojeví pouze přenásobením původního výrazu e^(x * ln(10)) .

Takže (x * ln(10))´= 1 * ln(10)) = ln (10) a to je již vše .

Obdržíme tedy ln(10) * e^(x * ln(10)) a to je po úpravě ln(10) * e^(ln(10^x)) a to je po další úpravě jen původní výraz násobený ln(10) , tedy ln(10)  * 10^x a to je již výsledek

Takže otázka

y = 10^x

 

y´= ?

 

y´ = ln(10) * 10^x

je zodpovězena velmi jednoduše , není třeba derivovat nic , pouze jen opsat původní výraz a přenásobit jej logaritmem mocněnce , mocnitel je pouze x a to se derivací změní v jedničku a tu netřeba opisovat .

Duben 7, 2013 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů, Zajímavosti z Mexica | Napsat komentář

LINEÁRNÍ ALGEBRA A ANALYTICKÁ A DIFERENCIÁLNÍ GEOMETRIE APLIKOVANÁ V GEOMETRII VÍCEROZMĚRNÝCH EUKLEIDOVSKÝCH PROSTORŮ

Další souvislosti zde :

https://aztli.wordpress.com/2009/02/17/o-geometrickych-vlastnostech-znamych-teles-ve-vicerozmernem-prostoru/

V tomto článku bude ukázáno , jak lze to , co je poměrně těžkopádně vyučováno separovaným způsobem bez širších souvislostí , jak lze zobecnit a řešit totéž ve vícerozměrném prostoru E(N) .

Obvykle se vyučují pojmy, jako vzdálenost bodu od přímky, vzdálenost bodu od roviny, vzdálenost přímky od přímky a vzdálenost roviny od roviny a dál se již nedojde.

Přitom si stačí uvědomit toto:

Bod je vlastně reprezentantem prostoru E(0)

Přímka je reprezentantem prostoru E(1)

Rovina je reprezentantem prostoru E(2)

Krychle  (viz jiný s tímto související článek ) je reprezentantem prostoru E(3)

Hyperkrychle čtyřrozměrná je reprezentantem prostoru E(4)

A tak dále do vyšších rozměrů .

A jelikož prostor kolem nás je pochopitelně pro běžné uživatele 3 rozměrný , tak se již tento útvar neuvažuje , jelikož aby mělo smysl například měřit vzdálenost bodu od krychle  E(3), musí být jak bod , tak útvar krychle E(3) vnořeny do prostoru E(4) , k čemuž se jaksi nedojde .

Tam by totiž tento pojem měl smysl .

Jinak by to bylo samozřejmě podobné, jako zjišťovat v prostoru E(2) vzdálenost bodu od roviny, která je sama o sobě celým prostorem E(2) a současně útvarem E(2). Tak to lze až po přenesení do prostoru s další dimenzí (nejen do E(3) , ale i do E(4) a výše) .

Takže všeobecně se jedná v každém případě , co se zmíněných a lidskými slovy popsaných útvarů týče , o hyperkrychli , ikdyž nahlíženou očima člověka z prostoru, v němž se zachází obvykle s E(3) rozměry .

Takže lze pochopitelně odvozovat vzdálenost tělesa E(0) vnořeného do E(2) od útvaru E(1) .

A podobně útvar E(2) od jiného útvaru E(2) , ale vnořeného do E(3)

A to pochopitelně platí i pro jakékoliv hyperútvary alias hyperkrychle .

Takže obecně můžeme zjišťovat vzdálenost mezi hyperútvary vždy, když budeme mít k dispozici prostor E(N) a útvary, mezi nimiž vzdálenost zjišťujeme , musí mít dimenzi nejvýše E(N-1) .

Takže například to , co se řeší jako vzdálenost bodu od přímky lze naprosto zevšeobecnit.

Takže nyní trochu klasického vyjádření :

Přímka může být zadána jako explicitně tedy y = f(x) nebo x2=f(x1)

nebo implicitně f(x,y) = 0 nebo f(x1,x2) = 0

Ten první způsob má obvykle tvar y = k * x + q

Od toho lze přejít k implicitnímu takto :

-k*x + y – q = 0

I tak jej můžeme napsat obecně jako k * x + 1 * y + q = 0 , resp zcela obecně a * x + b * y + c = 0

Ovšem přímka (a obecně jakákoliv hyperkrychle v E(N)) může být zadána bez rovnice, pouze danými body , rovnice samotné není vůbec  třeba , tu lze samozřejmě z těch bodů naopak dodatečně odvodit, ale pro samotný výpočet vzdáleností to není účelné . Samozřejmě, že jsou nicméně vypracovány různé vzorce, jež ale vyplynuly zjednodušením obecných vztahů , níže uvedených .

Především vznikly v době , kdy ještě výpočetní technika byla poměrně nedostupná . Proto také se v oněch učebnicích objevují příklady poměrně zjednodušené , souřadnice např. obsahují dost nul apod. Pak se takový příklad dost ztrivializuje a názornost je ta tam.

S přibývajícím počtem rozměrů prostoru roste pochopitelně počet souřadnic, v nichž jsou útvary svými body vyjádřeny a nutný počet rovnic a s tím spojený nárůst počtu nutných koeficientů , jež je nutno určit a stále složitější systém určujících rovnic .

Navíc je nutno řešit soustavu rovnic , což vede na výpočet inversní matice a to byl problém v minulosti vždy .

Ještě větším problémem je získat koeficienty výchozí rovnice .

To v současnosti problém již pochopitelně není, jelikož lze užít z množství tabulkových  procesorů dle zkušeností konkrétní vhodný , kde jsou výpočty velmi přehledné a navíc lze rekursivně již vypracovaný výpočet pro výpočty s útvary nižších dimenzí snadno rozšířit na vyšší dimenze s odpovídajícím počtem souřadnic a rovnic .

Pak, v klasickém řešení když budeme řešit vzdálenost bodu od přímky, tak vlastně máme díky tomuto implicitnímu tvaru již  dispozici automaticky vektor normály , jehož souřadnice jsou dány přímo koeficienty u proměnných x , y . Tam se to řešilo následně ,

Byl dán bod M [x1,x2] , dále „nějak“ zadaná přímka . Takže  se mohlo díky implicitnímu tvaru , který umožnil automatickou znalost vektoru n , kolmému na vektor přímky přejít výraz :

Bod na patě kolmice N = M + t * n , jehož souřadnice byly dány koeficienty u proměnných v implictním tvaru .

A totéž šlo i pro rovinu , přešlo se ze tvaru z = f(x,z) na tvar f (x,y,z) = 0 a hned byly k dispozici koeficienty u proměnných x,y,z , jež dávaly souřadnice vektoru normály , který byl kolmý na onu rovinu v bodě N .

(podobně můžeme automaticky vyrobit vektor normály i z koeficientů u jednotlivých proměnných , jež definují hyperkrychli E(N´) vnořenou v E(N) , kde N´< N a zadanou v implicitním tvaru f(x1,x2,x3,…xn) = 0 , tedy ve tvaru a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 +…an*xn + a0 = 0 , tedy koeficienty a1,a2,a3,..,ai,…an jsou složkami vektoru normály).

To samozřejmě umožní zjednodušit postup , ale obecněji je lépe pracovat s body, jež daný útvar , hyperkrychli definují .

To je jednoznačné vždy a dobře to ukazuje, co se vlastně odehrává .

(Tak jistě , šel by použít i onen postup s normálou i v jakémkoliv prostoru E(N) , kde N >3 a „nadrovina“ – dřívější výraz, či hyperkrychle je pak dána výrazem f(x1,x2,x3,…xn) = 0 , tj. a1*x1+a2*x2+a3*x3+….an*xn+a0 = 0 , ale s body se pracuje lépe).

Vždy , když se bude řešit vzdálenost bodu od jiného útvaru , tak se to provede obecně tak , že se onen bod promítne ortogonálně do onoho útvaru , obdržíme patu kolmice a pak  E(N) prostorovou pythagorovou větou obdržíme vzájemnou vzdálenost bodu od útvaru .

Vlastně se jedná o obdobu „půdorysného průmětu“ bodu do roviny , tak postup je vždy stejný .

Toto výše uvedené je ale nutno provádět v prostorech vyšší dimenze a pro vzdálenost bodu od útvarů dimenze alespoň o jednu menší, než je onen vícerozměrný prostor , a to se musí efektivně uskutečnit tak, že si uvědomíme, co je podstatou vzniku hyperútvaru :

Abychom obdrželi bezrozměrný tedy nularozměrný útvar E(0) , tedy bod , potřebujeme 1 bod

Abychom obdrželi jednorozměrný útvar E(1)  , tedy přímku , potřebujeme 2 body,

Abychom obdrželi dvourozměrný útvar E(2) , tedy rovinu , potřebujeme 3 body

Abychom obdrželi třírozměrný útvar E(3) , tedy krychli , potřebujeme 4 body.

Abychom obdrželi čtyřrozměrný útvar E(4) ,  tedy hyperkrychli , potřebujeme bodů 5

Abychom obdrželi 10 rozměrnou hyperkrychli , potřebujeme bodů 11 .

Takže je vidět, že na vytvoření jakéhokoliv útvaru o počtu rozměrů E(N) potřebuje N+1 bodů .

Samozřejmě , že nesmí být závislé ve smyslu toho, že by ležely v jedné přímce, rovině , krychli , obecně hyperkrychli  apod, musí vždy ten počet bodů N+1 být vnořen alespoň do prostoru E(N) .

To je celkem logické, rovina daná třemi body má smysl teprve v E(3) prostoru, jinak v E(2) by byla ona sama celým tím prostorem a nebylo by co „měřit“ , tedy vzdálenost bodu od té samé roviny, v níž by ležel onen bod .

Obecně pro jakýkoliv útvar v jakémkoliv prostoru vyšší dimenze vnořený to lze řešit následovně :

Budeme- li zjišťovat vzdálenost bodu od přímky, (a je lhostejno, zda jsou tyto subútvary hyperkrychle vnořené do E(2) , E(3) , E(4) … E(N) , kde N > 2 ) , tak si nejprve můžeme jakýmkoliv dostupným způsobem stanovit potřebný počet bodů, jež tento subútvar (hyperkrychli) definují.

Tj. v E(2) si najdeme dva body na té přímce , a sice tak , že je spočteme jakýmkoliv dostupným způsobem , pokud bude zadána rovnicí (třeba učebnicově) , například zvolíme souřadnic x (obecně x1) a tuto dosadíme do rovnice ať již v implicitním či explicitním tvaru a obdržíme příslušnou souřadnici y (obecně x2) a tak další bod .

(Poznámka: bod, jehož vzdálenost zjišťujeme, budeme značit M , patu kolmice, do níž je promítnut, budeme značit N , a počet potřebných bodů hyperkrychle  E(N´) ,  (zde subútvaru v E(N)) , jako A1, A2 ,…. AN´, kde N´<  N.

 

A jelikož se jedná výhradně o skalární součin , budeme jej značit * .

Dále si uvědomíme, že jakýkoliv bod na přímce obdržíme takto :

N = A1 + t1 * (A2-A1)  (rovnice 1) .

Příčemž ten neznámý bod N je právě tím bodem, co je ortogonálním průmětem daného bodu M , jehož vzdálenost od přímky zjišťujeme a je promítnut do paty kolmice N .

Samotnou vzdálenost pak vypočteme z E(N)  prostorové pythagorovy věty :

d(M,N)(E(N)) = ((x1(M)-x1(N))^2 + (x2(M)-x2(N))^2   … (xN(M)-xN(N))^2)^.5  (rovnice 2)

Dále platí pro skalární součin vektorů (N-M) * (A2-A1) = 0   (rovnice 3)

Takže :

Doplním ještě obrázek pro ilustraci .

Dále ještě uvedu, jak by tentýž příklad vypadal přenesen do prostoru v E(3) , v E(4) .

Dále bude ukázán příklad pro vzdálenost bodu od útvaru E(2) roviny v E(3) a totéž přeneseno do prostoru E(4)

A na závěr ještě příklad , jak by se spočetla vzdálenost bodu od hyperkvádru v prostoru E(4) , případně v E(5) .

A také, jak by se spočetla obecně vzdálenost útvaru například E(1) od útvaru například E(2) v prostoru E(3) a totéž v prostoru E(4) .

A ještě jak by se vypočetla vzdálenost útvaru E(2) od útvaru (E2) v prostoru E(3) a totéž v prostoru E(4)

A ještě jak by se vypočetla vzdálenost roviny o E(2) od hyperkrychle E(3) , obojí vnořeno do prostoru E(4) a E(5)

A na samý závěr, jak by se vypočetla vzdálenost například hyperkrychle E(3) od hyperkrychle E(4) a toto vnořeno do prostoru E(5) .

Zájemce uvidí, že to není nic jiného, než jen mechanická práce,  kdy se musí stanovit dostatečný počet lin. nezávislých subútvarů , najít k nim neznámé koeficienty směrových vektorů , jež „vyrobí“ onu patu kolmice a ze skalárního součinu pak vyjde soustava lineárních rovnic , exaktně řešitelných .

Vlastně se bude jednat o mechanicky uplatněné  maticové součiny a řešení bude prostřednictvím inversní matice .

Kdo se toto naučí, tak bude se na to, co je vyučováno klasicky, dívat s nadhledem .

Příklad 1 – vzdálenost bodu od přímky v E(2)

Příklad 2 – vzdálenost bodu od přímky v E(3)

Příklad 3 – vzdálenost bodu od přímky v E(4)

Příklad 4 – vzdálenost bodu od roviny v E(3)

Příklad 5 – vzdálenost bodu od roviny v E(4)

Příklad 6 – vzdálenost bodu od prostoru E(3) , tedy od krychle (E3) v E(4)

Příklad 7 – vzdálenost dvou přímek mimoběžek v E(3)

Příklad 8 – vzdálenost dvou rovin v E(3)

Příklad 9 vzdálenost dvou rovin v E(4)

Příklad 10 – vzdálenost dvou přímek mimoběžek v E(4)

Příklad 1

Máme v rovině E(2) bod M a body dané přímky A1 , A2 a chceme zjistit vzdálenost bodu M od této přímky A1,A2 . 

M [6 , 4]

A1 [1 , 5]

A2[10 , 23]

Nyní dosadíme do rovnice 1

Takže :

N = A1+ t1 * (A2-A1)

Obdržíme :

x1(N1) = 1 + (10-1)*t1 = 1 + 9*t1

x2(N2) =5+ (23-5)*t1 = 5 + 18*t1

Tedy souřadnice bodu N budou

N [1+9*t1 , 5 + 18* t1 , 16-5*t1]

Nyní takto vyjádřené souřadnice bodu N dosadíme do rovnice 3

(N-M) * (A2-A1) = 0

obdržíme :

(1+9*t1-6,5+18*t1-4) * (9,18) = 9*(9*t1-5) + 18*(18*t1+1) = 0

Po úpravě bude : 81 * t1 – 45 + 324 * t1 + 18 = 0

pak 405 * t1 – 27 = 0 , odtud t1 = 27/405

Vypočtenou hodnotu t1 dosadíme do rovnice 1

N = A1 + t1 * (A2-A1)

a obdržíme souřadnice bodu N :

x1(N) = 1 + 27/405 * 9 = 1.6

x2(N) = 5 +27/405 * 18 = 6.2

Nyní již zcela jednoduše spočteme vzdálenost bodů d(M,N) = ((x1(M)-x1(N))^2 + (x2(M)-x2(N))^2)^.5 = 4.92 m z rovnice 2 

Pro kontrolu můžeme a u vícerozměrných protorů , kde se objeví více vektorů , jejichž kolmost požadujeme , to je žádoucí , provést naznačené skalární násobení vektorů (N-M) * (A2-A1) = 0

Pokud nula vyjde , (když jsme například počítali vzdálenost na 3 desetinná  místa, tak jsme mezivýpočty prováděli na 4 místa) , musí vyjít výsledek , kde na třetím místě může být číslo odlišné od nuly , je výpočet správný .

Takže provedeme součiny :

M [ 6 , 4 ]

N[ 1.6 , 6.2 ]

—————–

(N-M) = (-4.4 , 2.2)

A1 [ 1 , 5 ]

A2 [ 10 , 23 ]

—————–

(A2-A1) = (9 , 18)

Součiny složek (N-M)*(A2-A1)

-39.6 + 39.6 = 0 , což bylo předpokladem a bylo dokázáno .

 

Příklad 2 ,

ten samý jako příklad 1  , ale v prostoru E(3) .

Máme daný bod M , jehož vzdálenost od hyperkrychle (zde přímky) v E(2) si přejeme zjistit .

M [x1,x2,x3] , například M [6,4,10]

Dále máme onu přímku a ta bude dána opět  dvěma na ní ležícími body.Takže máme nyní již :

M [6,4,10]

A1 [1,5,16]

A2 [10,23,11]

Opět vyjádříme bod N dosazením do rovnice 1 :

N =  [1 + 9*t , 5 + 18*t , 16  – 5*t]

Nyní dosadíme do rovnice 3 :

(1+9*t-6 , 5+18*t-4 , 16-5*t-10) *  (9 , 18 , -5) = 0

Po úpravě obdržíme :

(-5 + 9*t + , 1+18*t , 6-5*t) * (9,18,-5) = 0

Po úpravě dále :

(-45 + 81*t ) + (18+ 324*t) + (-30 + 25*t) = -45+81*t+18+324*t-30+25*t = 0

Tedy obdržíme -57 + 430*t = 0 , odtud t = 57/430

Dosadíme do rovnice 1 :

N = [ 2.193 , 7.386 , 15.337]

M  = [6,4,10]

Dosadíme do rovnice 2 a vypočteme vzdálenost :

d(M,N) = 7.379 m

 

Příklad  3 :

Příklad je ten samý , je ale realizován v prostoru E(4)

Takže máme body M , jehož vzdálenost od přímky dané body  A1, A2 zjišťujeme .

Tedy :

 M [6,4,10, 20]

 A1 [1,5,16,25]

 A2 [10,23,11,32]

Opět vyjádříme bod N pomocí rovnice 1 :

N =  [ 1+9*t , 5+18*t , 16-5*t ,  25+7*t ]

Takto vyjádřený bod dosadíme do rovnice 3 :

(1+9*t-6,5+18*t-4,16-5*t-10,25+7*t-20)*(9,18,-5,7) = 0

Po úpravě :

9*(9*t-5)+18*(1+18*t)-5*(6-5*t)+7*(5+7*t) = 0

Po úpravě :

81*t-45+18+324*t-30+25*t+35+49*t = 0

Obdržíme :

479*t  – 22 = 0

t = 22/479

Dosadíme t do rovnice 1 :

N = [1+22/479*9 , 5+22/479*18 , 16+22/479*-5 ,25 + 22/479*7 ]

N =  [1.413 , 4.173 , 15.770 , 25.321]

d(M,N) = 9.093 m

Příklad 4 :

V prostoru E(3) máme bod M , jehož vzdálenost chceme zjistit od roviny dané body A1,A2,A3 .

Takže :

M [6,4,10 ]

A1 [1,5,16 ]

A2 [10,23,11 ]

A3 [21,35,25]

Postup je v zásadě shodný , opět dosadíme pro vyjádření bodu N do rovnice 1:

N = A1+t1 * (A2 – A1) + t2 * (A3-A1)

Pozorné čtenářky si jistě všimly , že se v rovnici 1 objevil prvek navíc , to je pochopitelné , jelikož je dána  rovina jakožto E(2) útvar 2 přímkami, vyjádřenými dvěma směrovými vektory a aby bylo možno se dostat od bodu A1 k bodu N , je to nutno zařídit prostřednictvím lineární kombinace dvou vektorů, neležících v témže subútvaru, tedy zde na jedné přímce .

Tudíž obdržíme :

N = [1+9*t1+20*t2 , 5+18*t1+30*t2 , 16-5*t1+9*t2]

Nyní dosadíme do rovnice 3

(N-M) * (A2-A1) = 0

(N-M) * (A3-A1) = 0

Pozorné čtenářky si jistě též všimly, že se objevily rovnice dvě, místo jedné. Dá se říci, že právě tak akorát.

To proto  , že v zásadě chceme sestrojit vektor kolmý na útvar, tj. když jím byla přímka, stačil jeen vektor vložený do přímky , když oním útvarem je rovina, musí být pochopitelně ony vektory být dva . V případě krychle jím budou musit být tři (vlastně ve skutečnosti budeme pak počítat vzdálenost bodu od prostoru E(3), obojí v E(4j).

Tudíž toto po dosazení bude :

(1+9*t1+20*t2-6,5+18*t1+30*t2-4,16-5*t1+9*t2-10) * (9,18,-5) = 0

(1+9*t1+20*t2-6,5+18*t1+30*t2-4,16-5*t1+9*t2-10) * (20,30,9) = 0

Toto lze upravit jako :

(9*t1+20*t2-5,18*t1+30*t2+1,-5*t1+9*t2+6) * (9,18,-5) = 0

(9*t1+20*t2-5,18*t1+30*t2+1,-5*t1+9*t2+6) * (20,30,9) = 0

Po roznásobení obdržíme :

81*t1+180*t2-45+324*t1+540*t2+18+25*t1-45*t2-30 = 0

180*t1+400*t2-100+540*t1+900*t2+30-45*t1+81*t2+54 = 0

Po úpravě :

430*t1+675*t2 -57 = 0

675*t1+1381*t2 -16 = 0

Dále po úpravě :

430*t1 + 675*t2 = 57

675*t1 + 1381*t2 = 16

To co vše bylo uvedeno , lze také zapsat maticově , tj. :

Výraz

(N-M) * (A2-A1) = 0

(N-M) * (A3-A1) = 0

lze zapsat jako :

Matice

(N-M) * AT  =     0

(1,3)    (3,2)     (1,2)

Tedy:

N1-M1 N2-M2 N3-M3   

   (1,3)

*

A21-A11 A31-A11
A22-A12 A32-A12
A23-A13 A33-A13

   (3,2)

=

0
0

   (2,1)

Po roznásobení matic obdržíme přetvořený tvar :

  A    *      T    –   L   =      0 , odtud A * T = L

(2,2) * (2,1)    (2,1)    (2,1)

kde matice A znači koeficienty u neznámých parametrů ti , které nutno dosadit do výchozí rovnice

Tudíž řešením je maticově zapsaný výraz :

A-1 * A    *  T = A-1 * L

Tedy 

E * T = A-1 * L

Tedy

T = A-1 *  L

Čili obdržíme po roznásobení vstupních matic :

 A =

430 675
675 1381

T =

t1
t2

L =

57
16

 Po určení inversní matice obdržíme  :

 T = (0.491422162 , -0.228609674)T

Opět dosadíme vypočtené koeficienty do rovnice 1 :

N = A1+t1 * (A2 – A1) + t2 * (A3-A1)

N =  [ 0.851 , 6.987 , 11.485 ]

M =  [    6       ,     4       ,     10     ]

Nyní již zcela jednoduše dle rovnice 2 spočteme vzdálenost bodů d(M,N) = ((x1(M)-x1(N))^2 + (x2(M)-x2(N))^2)^.5 = 6.135  m , což je naše hledaná vzdálenost bodu od roviny v E(3).

Příklad 5

Zde bude následovat tentýž příklad , jako předchozí , ale přenesený do prostoru E(4) .

Opět povede na maticový výraz, kde však bude matice typu (1,4) , (4,2) ,  (1,2)  ,  (1,2)

Příklad 6

Zde bude konečně slíbený příklad na výpočet vzdálenosti bodu od třírozměrného prostoru .

Lze realizovat ale až v E(4) a vyšších.

Jelikož i v případě , kdy počítáme vzdálenost bodu od přímky, stačí místo celé přímky uvažovat úsečku délky a, tak podobně i při zjišťování vzdálenosti bodu od roviny stačí uvažovat čtverec o straně a .

A podobně tedy při zjišťování vzdálenosti bodu od třírozměrného prostoru v E(4) stačí uvažovat krychli o straně a .

A proto tomu říkám vzdálenost bodu od krychle , alias při vícerozměrné krychli vzdálenost bodu od hyperkrychle  a pokud věc zevšeobecním, tak do ní mohu zahrnout i případy s menším počtem rozměrů v E(2) a E(3) .

Takže zadání bude vypadat obdobně, jako když je zadán příklad na vzdálenost bodu od roviny , ale v E(4) .

Jediné , co bude „navíc“  , bude to , že body budou mít místo 3 souřadnic souřadnice 4 .

Jinak je postup naprosto tentýž .

Bod M by byl zadán navíc se 4 souřadnicemi, samotná rovina by byla dána 3 body, ovšem se čtyřmi souřadnicemi , my však ,  jak již řečeno výše , místo roviny budeme mít prostor (krychli).

Takže zadání je zde :

Je dán v prostoru E(4) bod M , jehož nejkratší možnou vzdálenost od prostoru (krychle) zjišťujeme :

M  [ 6 , 2 , 12 , 4 ]

Prostor E(3) je v prostoru E(4) zadán těmito čtyřmi body :

A1 [ 1 , 1 , 1 , 1 ]

A2 [ 8 , 5 , 12 , 16 ]

A3 [ 3 , 7 , 16 , 6 ]

A4 [ 16 , 19 , 7 , 22 ]

Takže hledáme opět bod N v krychli na patě kolmice k této krychli alias prostoru  , jež reprezentuje prostor E(3) (kdysi se také říkalo nadrovina či hyperrovina) , který lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů mezi danými 4 body , což je nám známá rovnice 1 :

N = A1 + t1 * (A2-A1) + t2 * (A3-A1) + t3 * (A4-A1) .

Jak vidí pozorná čtenářka , máme tu již dokonce TŘI neznámé parametry t , které nutno vypočíst .

Z praktických důvodů začne být účelné je zapisovat sloupcově .

Sestrojíme tedy příslušné vektory :

(A2-A1) = ( 7 , 4 , 11 , 15 )

(A3-A1) = ( 2 , 6 , 15 , 5 )

(A4-A1) = ( 15 , 18 , 6 ,21 )

Dále dosadíme do výrazu daného rovnicí 1 :

x1(N) = 1 + 7*t1 + 2*t2 + 15*t3

x2(N) = 1 + 4*t1 + 6*t2 + 18*t3

x3(N) = 1 + 11*t1 + 15*t2 + 6*t3

x4(N) = 1 + 15*t1 + 5*t2 + 21*t3

Nyní vyjádříme vektor (N-M) :

N1-M1 =  7*t1 + 2*t2 +15*t3 – 5

N2-M2 =  4*t1 + 6*t2 + 18*t3 – 1

N3-M3 =  11*t1 + 15*t2 + 6*t3 – 11

N4-M4 = 15*t1 + 5*t2 + 21*t3 -3

Nyní použijeme rovnici 3 :

Součiny vyčíslíme po sloupcích a pak sečteme sloučením

((N1-M1) * (A2 1 -A1 1) (nejzazší index bodů Ai značí pořadí souřadnice , první index vždy číslo bodu (v učebnicích používají samostatná písmena bez indexů, ale to není tak výhodné např. při naprogramování výpočtu, jelikož se odehrává v cyklu a tak je nutno označení bodu též indexovat)a pokud je bod bez indexu, tak číslo značí u bodu M,N jen pořadí souřadnice .)

Takže mezisoučty jsou :

(N1-M1) * (A2 1 – A1 1 ) =  (7*t1 + 2*t2 + 15*t3 – 5) * 7

(N1-M1) * (A2 1 – A1 1 ) =( 4*t1 + 6*t2 + 18*t3 – 1) * 4

(N1-M1) * (A2 1 – A1 1 ) = (11*t1 + 15*t2 + 6*t3 – 11) * 11

(N1-M1) * (A2 1 – A1 1 ) = (15*t1 + 5*t2 + 21*t3 -3) * 15

Po roznásobení obdržíme dílčí mezisoučiny :

49*t1 + 14*t2 + 105*t3 – 35

16*t1 + 24*t2 + 72*t3 – 4

121*t1 + 165*t2 + 66*t3 – 121

225*t1 + 75*t2 + 315*t3 – 45

————————————-

A po sečtení obdržíme první rovnici :

411*t1 + 278*t2 + 558*t3 – 205 = 0

Postup opakujeme :

Takže další mezisoučty jsou :

(N1-M1) * (A3 1 – A1 1 ) = (7*t1 + 2*t2 +15*t3 – 5) * 2

(N1-M1) * (A3 1 – A1 1 ) =( 4*t1 + 6*t2 + 18*t3 – 1) * 6

(N1-M1) * (A3 1 – A1 1 ) = (11*t1 + 15*t2 + 6*t3 – 11) * 15

(N1-M1) * (A3 1 – A1 1 ) = (15*t1 + 5*t2 + 21*t3 -3) * 5

Po roznásobení obdržíme dílčí mezisoučiny :

14*t1 + 4*t2 + 30*t3 – 10

24*t1 + 36*t2 + 108*t3 -6

165*t1 + 225*t2 + 90*t3 – 165

75*t1 + 25*t2 +105*t3 – 15

—————————————

A po sečtení obdržíme druhou rovnici :

278*t1 + 290*t2 + 333*t3 – 196 = 0

Takže další mezisoučty jsou :

(N1-M1) * (A4 1 – A1 1 ) = (7*t1 + 2*t2 + 15*t3 – 5) * 15

(N1-M1) * (A4 1 – A1 1 ) =( 4*t1 + 6*t2 + 18*t3 – 1) * 18

(N1-M1) * (A4 1 – A1 1 ) = (11*t1 + 15*t2 + 6*t3 – 11) * 6

(N1-M1) * (A4 1 – A1 1 ) = (15*t1 + 5*t2 + 21*t3 -3) * 21

Po roznásobení obdržíme dílčí mezisoučiny :

105*t1 + 30*t2 + 225*t3 – 75

72*t1 + 108*t2 + 324*t3 – 18

66*t1 + 90*t2 + 36*t3 – 66

315*t1 + 105*t2 + 441*t3 – 63

————————————-

Po sečtení obdržíme třetí rovnici :

558*t1 + 333*t2 + 1026*t3 – 222 = 0

Nyní tyto rovnice znovu opíšeme a přepíšeme z maticového tvaru A*T – L = O opět  maticově ve tvaru A*T = L :

Původní tvar A * T – L = 0

411*t1 + 278*t2 + 558*t3 – 205 = 0

278*t1 + 290*t2 + 333*t3 – 196 = 0

558*t1 + 333*t2 + 1026*t3 – 222 = 0

Upravený tvar A * T = L

411*t1 + 278*t2 + 558*t3 =  205

278*t1 + 290*t2 + 333*t3 = 196

558*t1 + 333*t2 + 1026*t3 = 222

Takže matice soustavy A :

411 278 558
278 290 333
558 333 1026

Vektor neznámých koeficientů T :

t1
t2
t3

Absolutní člen L :

205
196
56

Spočteme inversní matici k matici A  tedy A-1 :

A provedeme násobení absolutním členem a obdržíme neznámý vektor  koeficientů T :

T = A-1 * L

Nyní dosadíme do rovnice (1) a provedeme výpočet bodu N :

Zde již spočteme vzdálenost boduz rovnice (2)  d(M,N) = ((N-M)*(N-M))^.5

Na samý závěr ještě spočteme pro kontrolu dosazením do rovnice (3) výsledek , který se  má rovnat nule , zde však vzhledem k vyjádření na daný počet cifer, jež umožňuje tabulkový procesor s přesnost ína 1E-15 .

Tím je správnost postupu a výpoču jednoznačně dokázána .

Dále dosadíme do rovnice (2)

Příklad 7

Zde si ukážeme , jak lze vypočítat vzdálenost dvou mimoběžných přímek , nejprve v E(3) , pak v E(4)

V E(3) máme dánz přímky dvojicí bodů A1A2 , A3A4 a chceme určit jejich nejkratší možnou vzdálenost.

Takže zadání je následující :

Postup je v zásadě shodný , jako při určování vzdálenosti bod .

Takže na obou přímkách určíme bod M , N , přičemž využijeme opět rovnic 1,2,3 .

To jest jelikož se jedná o nejkratší možnou vzdálenost , musí samozřejmě být tato spojnice současně kolmá na obě přímky .

Takže použijeme rovnici 1:

M = A1 + t1*(A2 – A1)

N = A3 + t2*(A4-A3)

Takže napíšeme dle rovnice 1 :

M = [ 1 +7*t1  , 1 + 4*t1 , 1 – 11*t1 ]

N = [  3 + 3*t2 ,  7 – 5*t2 ,  16 – 4*t2 ]

Dále si připravíme vektor

(A2-A1) = ( 7 , 4 ,11 )

(A4-A3) = ( 3 , -5 ,-4 )

(N-M) =  (2 + 3*t2 – 7*t1 , 6 – 5*t2 – 4*t1 , 15 – 4*t2 – 11*t1 )

Nyní použijeme rovnici 3 :

(N-M) * (A2-A1) = 0

(N-M) * (A4-A3) = 0

 (2 + 3*t2 – 7*t1 , 6 – 5*t2 – 4*t1 , 15 – 4*t2 – 11*t1 ) *  ( 7 , 4 , 11 ) = 0

 (2 + 3*t2 – 7*t1 , 6 – 5*t2 – 4*t1 , 15 – 4*t2 – 11*t1 ) *  ( 3 , -5 , -4 ) = 0

Po úpravě roznásobením obdržíme :

14 + 21*t2 – 49*t1 +24 – 20*t2 – 16*t1 + 165 – 44*t2 – 121*t1 =  0

6 + 9*t2 – 21*t1 – 30 + 25*t2 + 20*t1 – 60 + 16*t2 + 44*t1   = 0

Po další úpravě :

-186*t1 – 43*t2 +203 =0

43*t1 + 50*t2 – 84 = 0

Po úpravě :

186*t1 + 43*t2 = 203

43*t1 + 50*t2 = 84

Můžeme zapsat maticově jako A * T = L

určíme A-1 a pak je T = A-1 * L

Po výpočtu obdržíme :

T = (t1,t2)T = (0.877466 , 0.925379)T

Tedy:

t1 = 0.877466

t2 = 0.925379

Toto dosadíme do rovnice 1 :

Obdržíme :

M = [ 1 +7*t1 , 1 + 4*t1 , 1 – 11*t1 ] = [ 7.142  , 4.510  , 10.652 ]

N = [ 3 + 3*t2 , 7 – 5*t2 , 16 – 4*t2 ] = [ 5.779 , 2.373 , 12.298 ]

Tedy :

M =  [ 7.142 , 4.510 , 10.652 ]

N = [ 5.779 , 2.373 , 12.298 ]

Spočteme vzdálenost s použitím rovnice 2 :

dM,N = 3.024 m

Pro kontrolu správnosti provedeme násobení dané rovnicí 3 :

(N-M) * (A2-A1) = 0

(N-M) * (A4-A3) = 0

Obdržíme součiny :

-1,366*7 -2,137*4 +1,646*1 = 0.000

-9,563 -8,5 – 8,547 +18,110 = 0

-1,366*3 -2,137*-5+1,644*-4 = 0

-4,098 + 10,684 -6,585 = 0

Čímž je doložena správnost výpočtu .

Pozorné čtenářky si jistě povšimly , že výpočetní postup byl naprosto shodný jak pro výpočet vzdálenosti bodu od roviny, tak i pro výpočet vzdálenosti dvou přímek – mimoběžek .

Je tomu tak.

Pro splnění podmínky, aby byla vzdálenost bodu od roviny ou nejkratší, musí být splněna kolmost vektoru od daného bodu k bodu na patě kolmice a současně na dva vektory , sestrojené mezi trojicí daných bodů roviny .

Zde u odvozování úsečky mezi mimoběžkami s nejkratší vzdáleností se též mechanicky splňuje podmínka kolmosti této nejkratší spojnice na obě přímky . A proto systém rovnic vypadá naprosto stejně .

Podobně tomu bude i v prostoru E(4) a vyšších . O tom v dalším příkladu 9 .

Příklad 8

Zde bude ukázáno , jak určit vzdálenost dvou rovin , nejprve v E(4) , kde obecně vzato  mohou být jak protínající se , tedy různoběžné , dále mimoběžné a dále také rovnoběžné , což je zvláštní případ mezi těmito dvěma mimoběžné polohy. 

Pro určení vzdálenosti rovin budeme uvažovat obecný případ mimoběžných rovin E(2) ) útvarů v prostoru E(4) .

Další příklad 9 bude poněkud opačný , budeme mít v E(4) rovinu a daný bod M a sestrojíme rovinu, jež bude tímto bodem M procházet a bude:

rovnoběžná ,

mimoběžná

různoběžná , tedy protínající se .

 kde mohou být z pochopitelných důvodů jen rovnoběžné (pokud by byl různoběžné, budou se p

rotínat a jsou v tu chvíli ve skutečnosti pouze repezentantem společného prosturu , krychle E(3) ) , pak v E(4) , kde mohou být obecně mimoběžné , ale i rovnoběžné a dokonce i různoběžné , tj. protínat se podobně, jako v E(3)  a ve všech dalších prostorech

Máme dány body :

A1 [ 1 , 1 , 1 ]

A2 [ 8 , 5 , 12 ]

A3 [ 3 , 7 , 16 ]

A4 [ 6 , 2 , 12 ]

A5=[ 1 , 12 , 6 ]

A6=[ 13 , 4 , 5 ]

Body A1 , A2 , A3 definují první rovinu

Body A4 , A5 , A6 definují druhou rovinu

Nyní použijeme rovnici (1) , kterou vyjádříme bod M , jenž bude představovat bod na patě kolmice k první rovině :

M = A1 + t1*(A2-A1) + t2 *(A3-A1)

Dále podobně vyjádříme bod N , jenž bude opět představovat bod na patě kolmice k druhé rovině :

N = A4 + t3*(A5-A4) + t6*(A6-A4)

Nyní pomocí rovnice (3) vyjádříme požadavek vzájemné kolmosti příslušných vektorů :

(N-M)*(A2-A1) = 0

(N-M)*(A3-A1) = 0

(N-M)*(A5-A4) = 0

(N-M)*(A6-A4) = 0

Březen 14, 2013 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů | 1 komentář

O vlivu precese na geometrické a další jiné praktické dopady na Zemi

Precese vzniká setrvačníkovým efektem , kdy na   Zemi jako zploštělý útvar ,  jehož osa rotace je skloněná vůči normále k oběžné dráze zvané ekliptika (éclipse je zatmění , asi proto byl zvolen ten název , jako že na ní nastává zatmění) ,  působí složené síly , vyvolané gravitací vzdáleného , ale mnohem hmotnějšího Slunce , a blízkého , sice méně hmotného Měsíce , avšak souměřitelně velikého se Zemí , přičemž obě tato tělesa se nachází přibližně v téže rovině .

Přičemž sklon zemské osy je cca 23°30´, přesněji střední hodnota 23°26´21″  vůči normále k oběžné dráze Země kolem Slunce ,

dále  sklon oběžné dráhy Měsíce vůči ekliptice činí 5°08´43″

dále sklon oběžné dráhy Měsíce vůči rovině zemského rovníku činí nestálou hodnotu od 28°36´do 18°18´

dále  sklon osy rotace Měsíce vůči normále k rovině oběžné dráhy Měsíce kolem Země činí nestálou hodnotu od 3°36´do 6°41´24″

dále  sklon osy rotace Měsíce vůči ekliptice činí 1°32´33″

To má za následek , že konec zemské osy opisuje precesní kužel , kde vrchol zemské osy , který se promítá na nebeskou sféru , opisuje precesní kružnici . Vrchol precesního kuželu je ve středu Země a úhel při vrcholu kuželu na protilehlé polohy zemské osy na precesní kružnici, tvořící průměr , činí 2* násobek sklonu zemské osy , tedy 2* 23°30´, tedy 47° .

Precesní kružnice je dále deformována vlivem nutace a ta je způsobena především vlivem Měsíce , který způsobuje pohyb zemské osy v nutační elipse , která se přičítá vektorově k precesní kružnici a výsledkem je skutečná podoba precesní kružnice .

Tato nutace je zapříčiněna stáčením uzlové přímky . Tato přímka je dána spojnicí vstupního a výstupního uzlu dráhy Měsíce , kde uzly jsou průsečíkem  dráhy Měsíce a dráhy Země . Celé otočení uzlové přímky o celý kruh , tedy 2*π , trvá cca 18.6 roku a má za následek, že se takto vůči normále k ekliptice mění sklon rotační  osy Země v rozmezí od 22°06´do 24°30´.

Stáčení této uzlové přímky je dáno gravitačním působením  Slunce na obíhající Měsíc . Tedy samozřejmě, že Slunce nepůsobí na pomyslnou nehmotnou přímku , avšak Měsíc, který tuto dráhu kolem Země opisuje , a působí silově na Zemi jako na setrvačník , tak tuto hmotnou soustavu jako celek ovlivňuje, což se projevuje geometricky oním stáčením uzlové přímky , což lze měřit  . Ve skutečnosti se takto pohybuje plynule i Měsíc jako celek  navíc .

Čili lze říci, že kdyby nebyl Měsíc, nemělo by Slunce co stáčet , neboli navíc posouvat po neexistující oběžné dráze neexistujícího tělesa .

Slunce by sice i nadále gravitačně působilo obecně , avšak nemělo by na co , než jen na Zemi .

Pro vznik nutace jsou tedy nezbytně nutna tělesa (mimo těleso , jehož nutaci měříme) alespoň dvě .

Kdyby nebyl Měsíc , vznikla by jen běžná precese , prakticky ničím  dalším ovlivněná .

Tato situace je například pozorována u Marsu, kde precesní kružnici rotační osy Marsu způsobuje pouze Slunce , přičemž  dva Měsíce Marsovy, ve skutečnosti = cca dva větší kameny na Zemi , ani svou blízkostí , ale především nepatrnou hmotností vůči Marsu ji neovlivní ve smyslu jako soustava Slunce-Země-Měsíc .

Nutace na Marsu rovněž v podstatě neexistuje , jelikož ony dva zmíněné Měsíce Marsu = alias větší kameny na Zemi , sice mají též své uzlové přímky a Slunce je geometricky vzato stáčí skutečně  rovněž , ale nutaci na precesní kružnici nevytvoří pro svou nepatrnou hmotnost , přičemž precese trvá na Marsu cca 170 000 let, ale uvádí se též 57 000 let , což vyjadřuje , jak je obtížné ji naměřit .

Tudíž je zřejmé , že pro vliv nutace je nutno nejen blízkého tělesa , obíhajícího danou planetu , ale musí mít srovnatelné rozměry a hmotnost jako planeta samotná , kolem které obíhá  .

Je to obdoba například stáčení přísluní , například  Merkuru , vyvolané z části gravitačně mechanickým působením Slunce a ostatních planet na obíhající Merkur a dále také relativistický efekt zakřivení prostoru (kteréžto Slunce jej zakřivuje do vyššího rozměru zejména ve svém blízkém okolí), který se takto měřitelně promítá do nám přístupných rozměrů a posouvá těleso navíc nad rámec běžného oběhu jako celek v prostoru vlivem zakřivení . Podobně i zde samozřejmě Slunce nepůsobí na nehmotný pomyslný bod zvaný přísluní . Samozřejmě , že  působí ve skutečnosti na obíhající Merkur, který sám o sobě sice vykonává oběh (což je vlastně volný pád kolem Slunce, avšak potřebnou rychlostí ), ale navíc je ještě dále „vezen“ jakoby i s „dráhou“, což je geometrický projev , jímž je měřen  , tedy ve skutečnosti další silový účinek jej natáčí navíc mimo tento „volný pád“ kolem Slunce a dále kupředu . Tedy stáčení dráhy (projevované jako stáčení perihelia , přísluní) je ve stejném smyslu , jako oběh tělesa kolem Slunce sám .

Vlivem precese dojde nezadržitelně nutně k tomu, že ony dvě rovnodennosti a dva slunovraty se v průběhu precesního cyklu  budou odehrávat na odlišných místech ekliptiky .

Jinými slovy, kalendář náš, jak je konstruován, putuje po ekliptice.

To znamená, že v minulosti například byl zimní slunovrat vskutku v bodě , kterým je perihelium a odtud se mezitím v průběhu let přestěhoval do bodu , který je v části ekliptiky mezi periheliem a mezoheliem 2 a odtud až do apohelia a zase zpět k mezoheliu 1 až opět do perihelia .

V současnosti se Země dostává do perihelia cca 3 ledna .

To jinými slovy znamená následující :

Mezi 21.prosincem a 3.lednem je 13 dní .

To je 13/365.2422 * 360°  = 12°49´úhlový posun po ekliptice .

Dále precesní cyklus trvá dle mayských národů 26 000 tunob , tedy 26 000 * 360 dní = 9 360 000 dní .

Tedy 9 360 000 / 360°= 26 000 dní / 1 °. Tedy pootočení půdorysného průmětu zemské osy do roviny ekliptiky o 1 ° trvá 26 000 dní , což je cca 71. 19 roku .

Takže 71.19 /1° * 12°49´ = 912.74 roku .

Tedy jinými slovy to znamená , že zimní slunovrat byl v periheliu cca před 913  roky .

Co se odehrává, je znázorněno na obrázku níže (doplním později) .

Obrázrek je znázorněn jako při pohledu od hvězdy Polárky .

Dráhová elipsa je tedy znázorněna tak, že bod AH je tedy apohelium a je vlevo , antibod dráhové elipsy je PH perihelium a je vpravo a oba jsou na spojnici , kde přibližně uprostřed je Slunce , přičemž platí , že AH-H + PH-H = 2*a , ted součet vzdáleností apohelia + perihelia = 2* násobek velké poloosy zemské dráhy.

Tudíž přesně uprostřed , tedy v délce o vzdálenosti a od bodu AH a totéž i od bodu PH je střed elipsy oběžné dráhy , avšak Slunce se naléza v ohnisku elipsy a sice , dle takto nakresleného obrázku pochopitelně blíže k periheliu .

(Takže když se mluví pejorativně například o periferii Prahy, tak se tím sice míní jako odlehlá část od Prahy jako od centra města, avšak doslova to znamená přilehlá část Prahy, slovo apoferie města , třeba apoferie Prahy, se neujalo). Například tedy asi oblast Troje až po Dolní Chabry by mohla být periferie a například Zdiby ke Klecanům až k Husinci u Řeže by mohly být apoferií Prahy , když již tak) .

Dále ohnisková vzdálenost f = a – PH-H , resp. f = AH-H – a ,  

a pro lepší  orientaci v obrázku jsou též označeny dva další body, jež se sice běžně nepojmenovávají, avšak z důvodů lepší názornosti se jeví jejich označení jako vhodné , a sice ten , který je při pohledu od apohelia k periheliu na elipse vlevo , je mezohelium 1 a je to vrcholový bod malé poloosy b dráhové elipsy  a ten , který je při pohledu od apohelia k periheliu na elipse vpravo , je mezohelium 2 a leží rovněž na vrcholu malé poloosy b dráhové elipsy .

Dále platí vztah pro elipsu , že první excentricita e = f/a  ,  excentricita elipsy , zde oběžné dráhy Země , dále platí , že

b^2 = a^2 – f^2 , po úpravě tedy f^2 = a^2 – b^2

(POZNÁMKA: v některých učebnicích se uvádí  vzdálenost středu elipsy S k ohnisku F jako excentricita e , pak by platil vztah e^2 = a^2 – b^2 , zde je to přesně naopak, kdy se vzdálenost mezi středem elipsy S k ohnisku F nazývá ohnisková vzdálenost f a pak platí f^2 = a^2 – b^2 , je to obvyklejší ve vyšší geodezii) 

Tudíž lze psát , že platí také tzv. numerická výstřednost neboli první excentricita : e^2 = f^2/a^2 = (a^2 – b^2)/a^2 .

Tzv. druhá excentricita je obdobný výraz , ale s poměrem :

e´ = f/b , pak

e´^2 = f^2/b^2 = (a^2 – b^2)/b^2 .

Dále je také definováno tzv. zploštění elipsy i = (a – b) / a , 

a také tzv .  druhé zploštění  i´ = (a – b) / b , zde jich  však nebude třeba používat , tyhle veličiny měly význam spíše dříve , když byl problém v době nedostupné výpočetní techniky cokoliv rychle vypočítat a používaly se jako argumenty v tabulkách , kde byly rozvedeny členy v Taylorovu řadu .

Takže tedy jinými slovy precese má za následek , že bez ohledu na kalendář , nastane v každém bodě oběžné dráhy, dané dráhovou elipsou , jak jarní i pdzimní rovnodennost, tak i letní a zimní slunovrat.

Jarní rovnodennost tedy přísně geometricky vzato , nastane v okamžiku,  kdy je půdorysný průmět zemské osy , spuštěný do roviny ekliptiky kolmý na průvodič střed Slunce a střed Země .

Tedy jinými slovy, když onen průvodič střed Slunce-střed Země svírá pravý úhel s půdorysnou stopou zemské osy v rovině ekliptiky .

A samozřejmě, že totéž platí i pro podzimní rovnodennost.

A aby se dalo rozlišit , která rovnodennost je která, tak pochopitelně z principu věci se o jarní rovnodennost bude jednat  tehdy, když bude onen průvodič střed Sunce-střed Země svírat pravý úhel s průmětem zemské osy od ekliptiky a současně bude  Země právě putovat od zimního slunovratu k letnímu slunovratu , nikoliv naopak .

Takže jako první je lépe stanovit okolnosti , za jakých nastává zimní slunovrat , letní slunovrat a pak terpve definovat body , ve kterých nastává rovnodennost na příslušné části dráhové elipsy .

Takže pro severní polokouli platí následující :

Takže zimní slunovrat nastává bez ohledu na kalendář , přísně geometricky vzato na tom bodě dráhové elipsy , kde :

je půdorysný průmět zemské osy do roviny ekliptiky totožný se spojnicí , tedy průvodičem střed Slunce-střed Země, tedy jinými slovy, svírá nulový úhel , neboli průvodič od středu Slunce ke středu Země a půdorysný průmět zemské osy leží na totožné přímce a současně je pochopitelně půdorysný průmět severního pólu od Slunce dál , než půdorysný průmět středu Země do ekliptiky, což je přímo onen bod sám (střed Země jako i střed Slunce leží samozřejmě v rovině ekliptiky).

A dále tedy podobně letní slunovrat nastane bez ohledu na kalendář , přísně geometricky vzato na tom bodě dráhové elipsy , kde :

je půdorysný průmět zemské osy do roviny ekliptiky totožný se spojnicí , tedy průvodičem střed Slunce-střed Země, tedy jinými slovy, svírá nulový úhel , neboli průvodič od středu Slunce ke středu Země a půdorysný průmět zemské osy leží na totožné přímce a současně je pochopitelně půdorysný průmět severního pólu od Slunce blíž  , než půdorysný průmět středu Země do ekliptiky, což je přímo onen bod sám .

A pochopitelně , protože od zmíněného bodu na dráhové elipse, kde nastal aktuálně zimní slunovrat , Země neustále plynule putuje po oběžné dráze směrem k bodu, ve kterém teprve nastane letní slunovrat , tak pochopitelně je mezi těmito body naprosto jednoznačně definována poloha bodu na dráhové elipse , ve kterém nastane nejprve jarní rovnodennost a posléze pak na příslušném úseku dráhové elipsy i podzimní rovnodennost .

A jelikož precese zemskou osu stáčí proti směru pohybu Země po dráhové elipse , to jinými slovy znamená, že půdorysný průmět severního konce zemské osy míří po každé jinam a proto z principu věci již nenastává zimní slunovrat v periheliu , ale postupně se stěhuje od perihelia k mezoheliu 2 do apohelia postupně k mezoheliu 1 a zase zpět do perihelia .

Čili jinými slovy to také znamená , že jelikož onen půdorysný průmět severního konce zemské osy do roviny ekliptiky ukazuje do různých souhvězdí , tak proto také nastává zimní slunovrat stále více již nikoliv v Kozorohu , ale postupně ve Střelci , pak Štíru a tak dále .

Podobně jarní rovnodennost  tak již prakticky přestává být v Beranu , ale stále více Rybách a postupně Vodnáři a postupně ve všech dalších .

Podzimní rovnodennost již ne ve Vahách , ale v Panně a postupně ve Lvu a postupně ve všech dalších .

Letní Slunovrat již ne v Raku , ale postupně v Blížencích a pak v Býku a postupně ve všech dalších .

S hlediska pozorování to tedy znamená , že my jako pozorovatelé vlastně pozorujeme , kam se aktuálně promítá střed pravého Slunce v oněch geometricky stanovených dnech , takže pochopitelně, když se promítá o jarní rovnodennosti Slunce do Brana , spíše dnes do Ryb , tak ve skutečnosti při pohledu od Slunce to je na opačnou stranu , tedy do Vah, spíše do Panny .

Příslušný půdorysný průmět zemské osy , spuštěný do ekliptiky se pochopitelně promítá postupně rovněž do všech jednotlivých znamení , tedy v současnosti již přestal směřovat  do Raka  a směřuje spíše však do Blíženců a tam směřuje ve všech bodech dráhové elipsy . 

Až tedy nastane čas , cca za 26 000 let, že bude opět nastávat zimní slunovrat přesně v periheliu, bude současně na severní polokouli zima mírnější , léto chladnější , zatímco na jižní polokouli tomu je a za oněch 26 00 let znovu bude přesně naopak , tam bude v tu  chvíli léto ještě sušší a zima drsnější .

Za cca 6 500 let bude v periheliu nastávat jarní rovnodennost , v mezoheliu 1 bude letní slunovrat , v apoheliu bude podzimní rovnodennost a v mezoheliu 2 bude zimní slunovrat .

Za dalších 6 500 let , tedy za 13 000 let , bude v periheliu nastávat letní slunovrat, v mezoheliu 1 bude nastávat podzimní rovnodennnost , ve apoheliu bude nastávat zimní slunovrat a v mezoheliu  2 bude nastávat jarní rovnodennost .

Za dalších 6 500 let , tedy za 19 500 let , bude v periheliu nastávat podzimní rovnodennost , v mezoheliu 1 bude nastávat zimní slunovrat a v apoheliu bude nastávat jarní rovnodenost a v mezoheliu 2 bude nastávat letní slunovrat .

A konečně za dalších 6 500 let , tedy po dokončení precesního cyklu , za 26 000 let , bude opět v periheliu nastávat zimní slunovrat , v mezoheliu 1 bude nastávat jarní rovnodennost , v apoheliu bude nastávat letní slunovrat , v mezoheliu 2 bude nastávat podzimní rovnodennnost .

Toto vše je popisováno z pohledu pozorovatele severní polokoule , na jižní polokouli tomu bude ve všech zmíněných polohách naopak .

Dále, když bude nastávat rovnodennost v mezoheliu 1 či mezoheliu 2 a to samé i podzimní rovnodennost , tak to bude zároveň na vrcholovém bodě malé poloosy b  dráhové elipsy . Tento bod má tu vlastnost, že je v něm vzdálenost od Země ke Slunci rovna délce velké poloosy dráhové elipsy , která je aritmetickým průměrem vzdálenosti ke Slunci v apoheliu a periheliu  .

Tudíž v současnosti nastáva jarní rovnodennost v místě dráhové elipsy malý kus dráhy od mezohelia 1  směrem k periheliu  .

Podobně podzimní rovnodennost nastává v místě dráhové elipsy ,  jež je malý kus blíže od mezohelia 2 k apoheliu .

Obojí to proto , že když si sestrojíme průvodič od Slunce, kolmý na velkou poloosu , tak se dostaneme na bod , který není na vrcholovém bodě malé poloosy b dráhové elipsy a přitom současně je půdorysný průmět zemské osy do eklipktiky v tomto bodě kolmý na tento průvodič , jelikož v současnosti tedy onen půdorysný průmět severního konce zemské osy je témeř totožný s přímkou , v níž leží též pooosa a dráhové elipsy .

Podobně po 13 000 letech bude situace na severní polokouli shodná se situací na jižní polokouli v současnosti .

Zima bude nastávat na severní polokouli v apoheliu , tedy drsnější a léto v periheliu tedy sušší .  

A dále také přibližně za 6 500  let nastane čas ,  kdy se bude jaro odehrávat geometricky vzato přesně v mezoheliu 1 a současně podzim nastávat v mezoheliu 2 .

Tudíž , když byl kdysi dle evropského kalendáře stanoven zimní slunovrat na 21.12. a případně v malém intervalu okolo tohoto dne,  totéž platí i pro jarní rovnodennost kolem 21.3. a letní slunovrat kolem 21.6 a podzimní rovnodennost kolem 23.9. a tak tomu při používání našeho kalendáře již zůstane .

Důsledek precese tedy je, že ony výše zmíněné dny prostě nastávají ve všech možných bodech dráhové elipsy .

Co se týče dráhové elipsy samotné , tak je velmi málo odlišná od kružnice , jelikož její rozměry jsou následující :

Velká poloosa a = 149 597 887.5 km

Malá poloosa b = 149 576 999.8 km

Ohnisková vzdálenost  f = 2 499 813.5 km

Vzdálenost Slunce od apohelia ah = 152 097 701.0 km

Vzdálenost Slunce od perihelia ph = 147 098 074.0 km

Jak je vidět , vzhledem k malému rozdílu mezi délkami poloos , který činí a-b = 20 887.5 km

jedná se , vzhledem ke vzdálenosti Země od Slunce o nepatrnou hodotu , tedy cca 20 000 km : 150 000 000 km .

V pozemských podmínkách , kdybychom si chtěli tento rozdíl představit a zmenšili model zemské dráhy do měřítka 1 : 20 000 000 , tak kdybychom na rovinatém terénu vytyčili přímku déky 15 000 metrů , na ní střed a obdrželi tak poloosu délky 7 500 metrů a na ni vytyčili kolmici , tak délka této vedlejší poloosy bude v tomto měřítku činit cca 7  498.958  m a ve vzdálenosti  125 m od středu sestrojíme ohnisko , přičemž Slunce samotné v tomto měřítku bude mít poloměr cca 0.692 m , jeho průměr ve skutečnosti činí cca 1 392 684 km .

Čili rozdíl mezi dráhovou elipsou Země a kružnicí je v řádu daném polovinou obvodu zemského rovníku , resp. cca 1.5* násobku zemského průměru .

GEOMETRIE PRECESE

Leden 9, 2013 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů | Komentáře: 2

Maturitní test z matematiky 2012

Zde bude znázorněn test z maturity 2012 z matematiky , údajně těžký .

Spíše bych řekl , že jelikož jeho tvůrci asi nejsou přímo lidé z praxe , tak spíše poněkud s  neprakticky formulovaným zadáním .

Až budu mít čas , tak řešení příkladů sem napíši .

A120507_JAV_MATEMATIKA-MATURITA

Další část

ad 9 

Délka ABCDEF = 5 * AB .

Úsečka AB = (2*(a/2)^2)^0.5 = ((2*a^2/4)^0.5) = a/2*(2)^0.5 = a/2*1.1415… 

Celá délka = a * 5 /2 * 1.1414…. 

ad 10 Objem je 2 * jehlan , jeho objem je podstava * výška / 3

Takže podstava je délka AB z předchozího příkladu a to je  a/2*(2)^0.5 ,

tudíž podstava je  (a/2*(2)^0.5)^2 = (a^2)/2

Potom obj)em činí  (a^2)/2 * výška , přičemž výška = a/2

Pak obdržíme  (a^2)/2 * a/2 =  (a^3)/4

Jelikož jsou jehlany 2 , pak předešlé je 2* , tedy obdržíme 2 *(a^3)/4 = (a^3)/2 .

Takže objem vnitřního  útvaru – dvou jehlanů je roven polovině objemu krychle .

(Ovšem daleko zajímavější je otázka, proč obsah trojúhelníku je základna * výška / 2 a obsah (zvaný objem jehlanu je základna (podstava) * výška / 3 .

Doporučoval bych pro zajímavost přečíst odvození , jež je v článku o geometrii vícerozměrných prostorů 

https://aztli.wordpress.com/2009/02/17/o-geometrickych-vlastnostech-znamych-teles-ve-vicerozmernem-prostoru/ 

v místě u jehlanu .

ad 12

ad 12.1 Řešením je kružnice o poloměru AB , kterou sestrojíme nad touto úsečkou, tedy vezmeme do kružítka tuto vzdálenost a protnutím dvou kružnic z bodu A , B obdržíme střed S , okolo něj opíšeme kružnici a obdržíme množinu alias geometrické místo všech bodů  Pi , které budou splňovat podmínku , že úhel při vrcholu na tomto bodě Pi mezi dvěma průvodiči , jdoucím z tohoto bodu Pi na koncové body základny A , B , je konstatní a sice Pi/6 , tedy 30 ° .

ad 12.2 Řešením je bod P , který obdržíme protažením z bodu B přes střed S této kružnice a jeho vzdálenost bude pochopitelně robvna dvojnásobku poloměru , tedy zde 2* AB . To je samozřejmě největší možná vzdálenost, kterou možno docílit ze zvoleného bodu v jakékoliv kružnici., jelikož každý jiný bod , ať „nalevo“ či „napravo“ , již zákonitě bude mít průvodič mimo střed S kružnice jdoucí a tím pádem vždy kratší . Prostě průměr kružnice je nejdelší možná spojnice dvou bodů na kružnici a ten jde vždy přes střed kružnice , jinými slovy je s krajními body průměru na přímce .

 ad 12.3 Vzdálenost je pochopitelně 2*AB = 2* 350 m = 700 m , je to právě průměr kružnice o poloměru AB .

Celý příspěvek

Červen 5, 2012 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů | | Napsat komentář

LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ A ŘEŠENÍ NĚKTERÝCH ÚLOH SIMPLEXOVOU METODOU

Tenhle článek je spíše pro studující , kteří mají předmět lineární programování a zde bude názorně ukázán postup při výpočtu lineární optimalizace úlohy zejména simplexovou metodou . V jednoduchých případech také graficky .

Samozřejmě že však není účelné touto simplexovou metodou cokoliv řešit v posloupnosti simplexových tabulek , jelikož  v každém tabulkovém proscesoru je obsažen modul , např. ve starém  QUATRO PRO (i jeho verzi přenesené do Corel) je položka OPTIMIZER (popíšu ten samý příklad , jak jej zadat) .

Zde je výborný text , ze kterého lze tuto metodu dobře pochopit  (autora jsme měli  jako učitele na postgraduálním doktorandském studiu oboru inženýrská informatika , předmět se jmenoval operační výzkum) .

http://kix.fsv.cvut.cz/~demel/ped/opv1/ov1.pdf

Zadávání je velice jednoduché a lze v něm i modelovat  a sledovat, jak se bude výsledek lišit , když se bodou měnit omezení či zadání parametrů úlohy .

Samozřejmě , že v tom tabulkovém procesoru je řešení toho zlinearizovaného modelu úlohy naprogramované nejspíš iterací , neřeší se v něm přímo naprogramovaná simplexová tabulka .

To samozřejmě lze rovněž , ale většina tabulkových procesorů tento postup opomíjí .

Důvod, proč není vhodné tuto simpleovou metodu užít k řešení jen s tužkou na papíře tak  je dán především problémem, který vyvstane v okamžiku , kdy se nebude jednat o malé hodnoty , dané maximálně na jednu dvě platné číslice . Dokud se bude jednat o zadání , jaké bývá ve skriptech , tak to samozřejmě je snadno řešitelné.

Ale v obecném případě , kdy dojde při eliminaci koeficientů u neznámých , tak se bude jednat o konkrétní čísla z praxe daná maximálním počtem míst a při zaokrouhlování s tužkou v ruce by došlo např., při malé výpočetní stabilitě matice ke zkreslení výsledku .

Takže zde bude ukázána spíše pro její názornost a také proto , že se prostě z tradičních důvodů její znalost ve škole požaduje .

Samozřejmě , že není žádný problémtuto simplexovou metodu coby posloupnost simplexových tabulek  ji naprogramovat v jakémkoliv , třeba i jednoduchém programovacím jazyku  , třeba dokonce i v nějakém archaickém BASCICu , jaký býval v osmibitových počítačích .

Takže zde bude ukázán příklad , jaký je v např. učebních textech ČZU (Česká zemědělská universita) :

Příklad 1 :

Na 300 ha orné půdy se bude pěstovat pšenice, ječmen a řepka. K dispozici je 50 t NPK. Řepku je možno pěstovat na nejvýše 20 ha, ječmen alespoň na 100 ha.

Rozhodněte, na kolika ha kterou plodinu pěstovat, aby zisk byl maximální

 
Komodita

Pšenice

Ječmen

řepka

NPK(t/ha)

0.2

0.15

0.02

Zisk v 1000 PJ

1

1.5

3

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jako neznámé , proměnné označíme neznámé hledané množství , vyjadřující počet ha plochy s konkrétní komoditou . 
 
Sestrojíme tedy lineární model úlohy ve tvaru
 
max L(x) = 1*x1 + 1.5 *x2 + 3*x3
 
na prostoru řešení S , který je dán těmito nerovnicemi :
 
x1 + x2 + x3 <= 300
 
0.2 * x1 + 0.15 * x2 + 0.02 * x3 <= 50
 
x3  <= 20
 
x2 >= 100
 
———————————————————————————————–
Prostor řešení S je  tedy dán systémem , který je zlinearizovaným   modelem :
 
 A* X  <=> B
 
kde A je lineární model úlohy , daný maticí A(m,n) , X je vektor proměnných daný maticí X(n,1) , také neznámých (v tabulkových procesorech spíše jako proměnné)  jsou tzv. omezení daná vektorem B(n,1) ,  kde výraz  <=>  značí použitou  relaci  .
 
—————————————————–
 
Než začneme zapisovat první simplexovou tabulku ,  musíme ale provést nezbytnou úpravu .
 
Jelikož zde v příkladě tři nerovnice jsou dány omezením ve tvaru méně nebo rovno  a čtvrtá ve tvaru více nebo rovno , musíme se rozhodnout , jaký jednotný tvar budou mít.
Tak jestliže je převažující počet nerovnic , jako například zde , ve tvaru méně nebo rovno, tak musím čtvrtou nerovnici , jež je ve tvaru více nebo rovno, převést na tvar méně nebo rovno .
 
To zařídíme následující úvahou :
 
x2 >= 100 , tudíž když  k tomuto výrazu přidáme další pomocnou proměnnou x4 (číslujeme dalším nepoužitým indexem) , zajisté jejím odečtením lze zařídit , aby se výraz změnil  na x2 -x4 <= 100 .
Odečtením proto, že složky vektoru řešení, tj. proměnné , alias neznámé jsou čísla kladná , proto  nutno odečíst .
 
Dále musíme k systému nerovnic přidat další počet přídatných neznámých  ve tvaru kanonické báze , dané jednotkovou maticí, jež zařídí , že se tvar nerovností převede na tvar rovností .
 
Takže , přídatné proměnné (neznámé) , jež slouží jen na odstranění nerovnosti , se přidávají zásadně ve tvaru +xi , tj. vždy se přičítají  
Pomocná proměnná , jež má zařídit přeměnu výraz větší než na výraz menší než , se musí zásadně odečítat , tedy ve tvaru -xi .
 
Avšak pomocná proměnná , jež má zařídit přeměnu z tvaru méně nebo rovno na tvar více nebo rovno , se musí zásadně přičítat .
 
Tedy :
 
A* X´ = B , přičemž
 
systém A*X´  je nutno upravit na tvar :
 
A*X,E = B , kde X´= X,E
 
kde jednotková matice vyjadřuje počet přídatným neznámých , který je dán počtem výchozích rovnic,
 
tedy :
 
A(m,n) * XT(n,1)  <=> B(m,1) (XT – transponovaná matice , tedy zde řádkový vektor proměnných alias neznámých) . 
 
A(m,n+n´) * XT(n+n´,1)  = B(m,1)
 
 kde n je počet neznámých (proměnných) , včetně počtu případných pomocných proměnných na zajištění adekvátní  nerovnosti
a n´je počet přídatných proměnných tzv. basických , jež jsou zapsány v diagonále jednotkové matice  .
 
Zde konkrétně jsou původní neznámé x1 , x2 , x3 , dále x 4 je pomocná proměnná na dotvoření správmého tvaru nerovnosti a x5 , x6 , x7 , x8 jsou přídatné proměnné , jejichž počet je dán počtem rovnic .
 
Nyní můžeme zapsat  výchozí simplexovou tabulku .
 
 
  

1

a1

1.5

a2

3

a3

0

a4

0

a5

0

a6

0

a7

0

a8

 

b

0   a5

1

1

1

0

1

0

0

0

300

0  a6

0.2

0.15

0.02

0

0

1

0

0

50

0  a7

0

0

1

0

0

0

1

0

20

0  a8

0

1

0

-1

0

0

0

1

100

z – c

-1

-1.5

-3

0

0

0

0

0

0

 
 
 

Výpočet je založen na hledání klíčového prvku v každém kroku (pivot) , který je dán kdysi empiricky nalezenými pravidly .

Tato úloha nebyla v podstatě dlouhou dobu exaktně řešitelná , jelikož výpočetní čas roste s faktoriálem počtu všech možných kombinací     n  nad m  , tedy n!/(m!*(n-m)!) .                                                                         

Takže tato simplexová metoda není zase až tak stará záležitost a i když exaktní řešení by spočívalo v pouhém algoritmu , který by vyřešil jednu kombinaci po druhé a z nich vybral výsledek , kde optimalizační funkce nabývá svého extrému , tedy maxima či minima , tak ztroskotává i dnes na potřebném výpočetím času a proto se empiricky pokoušeli matematici odvodit postupy , které by automaticky vyřazovaly ze hry celé třídy řešení , nevedoucích očividně k cíli , což činí tato velmi jednoduchá metoda .

Nazvána byla simplexová proto , že řešení tvoří konvexní polyedr ve víerozměrném prostoru a my na tomto polyedru hledáme krajní bod řešení  kde má zmíněná účelovvá funkce své minimum či maximum a útvar je geometricky vzato simplex v n- rozměrém prostoru . 

Vlastně se při řešení , které se geometricky vzato odehrává v prostoru E(N) , kde N je počet neznámých (proměnných) , sestrojí konvexní polyedr a pomocí účelové funkce se nalezne krajní bod toho polyedru  , ve kterém má účelová funkce extrém , tedy maximum či minimum .

Takže obecně vzato se jedná o konvexní hypermnohostěn alias hyperpolyedr .

V prostoru E(1) je tímto hypermnohostěnem úsečka , jež leží přímo na souřadnicové ose x1

V prostoru E(2) je tímto hyperpolyedrem vlastně mnohoúhelník , jelikož hyprestěnami jsou úsečky.

V prostoru E(3) je tímto hyperpolyedrem přímo konkrétní mnohostěn , jak jej známe z obvyklého života , může to být třeba jehlan či kvádr či krychle , ale také třeba ve zvláštním případě platonské těleso i prostě jakýkoliv útvar , jehož povrch je omezený plochami v obvyklém slova smyslu .

V prostoru E(4) je jím pochopitelně úvar typu hyperkrychle , hyperjehlan a pod a jeho povrch je tvořen třírozměrnými útvary .

Takže v prostoru E(N) obecně je hyperpolyedr  těleso , jež má povrch tvořený útvary E(N-1) prostoru .

Pak účelová funkce je obecně hyperrovina , takže v E(2) jí byla přímka (jak ji známe) , v E(3) rovina (jak ji známe) a v E(4) ji tvoří třírozměrná hyperrrovina a tak lze postupovat stále do vyšších dimenzí .

.

Nyní uplatníme pravidlo pro výběr sloupce .

V řádku z-c vybereme tu hodnotu ze záporných čísel, jež má největší absolutní hodnotu . Tím obdržíme řídící sloupec.

Dále uplatníme pravidlo pro výběr řádku .

Učiníme (někde stranou) podíly bi/aij , kde j je j-tý vybraný sloupec .

Vybereme takový podíl,  který je nejmenší a ten se samozřejmě odehraje v příslušném řádku .

Takže v průsečíku řádku a sloupce leží klíčový prvek – pivot a vzhledem k tomuto budeme eliminovat ostatní řádky (nad ním i pod ním ležící tak , aby pod klíčovým prvkem byly samé nuly) .

To se provede naprosto stejným způsobem , jako při klasickém řešení třeba inversní matice či zjišťován í hodnosti matice, tedy

pomocí tzv. ekvivalentních úprav , jež spočívají v tom , že ke kterémukoliv řádku můžeme přičíst libovolnou lineární kombinaci ostatních řádků .

Pro matici obecně to lze samozřejmě uplatňovat i pro sloupce , zde ale jde o speciální případ, kdy budeme dělat i některé věci navíc. Tedy např. i upravovat řádek z-c a sloupec b a „přetahovat“  hodnoty ze záhlaví simpexové tabulky .

 Vidíme , že to bude prvek ze třetího sloupce a třetího řádku tedy a33 .

Nyní pomocí lineárních kombinací učiníme , aby ve sloupci byly nad a pod prvkem samé nuly .

Takže zde například odečtu od prvního řádku třetí  řádek a tím dostaneme nulu v prvku a13

Dále od 50* násobku druhého řádku odečtme zde řádek třetí a pak nezapomenem zpět řádek vydělit 50 .

Dále ve čtvrtém řádku jej již „zadarmo“ nula , tudíž nečiníme nic

Dále k poslednímu řádku, z-c , přičteme trojnásobek třetího řádku .

A zejména do sloupce zcela vlevo do třetího řádku „přetahneme“ hodnotu , zapsanou v záhlaví třetího sloupce .

Tím obdržíme následující simplexovou tabulku :

  

1

a1

1.5

a2

3

a3

0

a4

0

a5

0

a6

0

a7

0

a8

 

b

0   a5

1

1

0

0

1

0

-1

0

280

0  a6

0.2

0.15

0

0

0

1

-0.02

0

49.6

3  a3

0

0

1

0

0

0

1

0

20

0  a8

0

1

0

-1

0

0

0

1

100

z – c

-1

-1.5

0

0

0

0

3

0

60

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Z tabulky je dobře vidět, že musí pro kontrolu korespondovat naznačené součiny v levém sloupci s hodnotou v pravém dolním rohu , tedy v řádku z-c :
 
tedy : 0*280 + 0 * 49.6 + 3 * 20 + 0 * 100 = 60 a to je současně i hodnota v posledním sloupci v řádku z-c .
Dále prvek , který byl pivotem je zárove bazickou jedničkou , ostatní se zachovají a musíme dohlednout, aby po případných eliminačních úpravách byly řádky na tuto jedničku redukovány a samozřejmě i tento pivot .
 
Nyní postup zopakujeme , tedy v řádku z-c má větší absolutní hodnotu prvek ve sloupci druhém a učiníme podíly
bi/aij , tedybi/ai2
klíčový prvek – pivot se bude nacházet ve druhém sloupci a čtvrtém řádku , tedy a42 .
 
Takže po úpravách obdržíme následující tabulku :
 
  

1

a1

1.5

a2

3

a3

0

a4

0

a5

0

a6

0

a7

0

a8

 

b

0   a5

1

0

0

1

1

0

-1

-1

180

0  a6

4/3

0

0

1

0

20/3

-2/15

-1

692/3

3  a3

0

0

1

0

0

0

1

0

20

1.5 a2

0

1

0

-1

0

0

0

1

100

z – c

-1

0

0

-1.5

0

0

3

1.5

     210
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Třetí řádek jsme jen opsali, byla v něm zadarmo nula,
první řádek jsme obdrželi tím ,že jsme od něj odečetli čtvrtý řádek ,
Druhý řádek jsme obdrželi tím , že jsme jej vydělili 0.15 a od něj odečetli čtvrtý  řádek
Řádek z-c jsme vydělili 1.5 a přičetli k němu čtvrtý řádek .
A dále jsme , jelikož došlo vlivem eliminačních úprav k pozměnění bazické jedničky a 26 na hodnotu 20/3 , tak jsme celý tento řádek touto hodnotou 20/3 vydělili a obdrželi následující tabulku
a samozřejmě nezapomeneme do čtvrtého řádku prvního sloupce přetahnout výraz 1.5 a2
 
 
 
  

1

a1

1.5

a2

3

a3

0

a4

0

a5

0

a6

0

a7

0

a8

 

b

0   a5

1

0

0

1

1

0

-1

-1

180

0  a6

0.2

0

0

3/20

0

1

-0.02

0

34.6

3  a3

0

0

1

0

0

0

1

0

20

1.5  a2

0

1

0

-1

0

0

0

1

100

z – c

-1

0

0

-1.5

0

0

3

1.5

     210
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Opět je dobře vidět , jak pro kontrolu výpočet koresponduje , tj.
 
0*180 + 0*4.6 + 3*20 +  1.5*100 = 210 , což je také hodnota v posledním sloupci řádku z-c .
 
Opět postupujeme obdobně ,
 
Ze záporných hodnot opět vybereme tu  s větší abs. hodnotou , což je sloupec čtvrtý a v něm druhý řádek dává nejmenší podíl . Podílu , kde by vyšel záporný výsledek (100/-1) ,  si nevšímáme .
Takže klíčový prvek , pivot bude  a 14 a výsledkem bude opět další simplexová tabulka :
 
 
 
  

1

a1

1.5

a2

3

a3

0

a4

0

a5

0

a6

0

a7

0

a8

 

B

0   a5

1

0

0

1

1

0

-1

-1

    180
0  a6

0.05

0

0

0

-0.15

1

0.13

0

7.6

3  a3

0

0

1

0

0

0

1

0

20

1.5 a2        1

1

0

0

1

0

-1

0

280

z – c

0.5

0

0

0

1.5

0

1.5

0

     480

První řádek pouze opíšeme

Druhý  řádek získáme nejprve vydělením číslem 3/20 a odečteme od něj první řádek  , tím samým číslem jej po eliminaci opět vynásobíme

Třetí řádek rovněž pouze opíšeme, obsahuje zadarmo nulu

Čtvrtý řádek obdržíme přičtením prvního  řádku ke stávajícímu čtvrtému řádku

 Řádek z-c vydělíme číslem 1.5 a přičteme k němu první  řádek , tím samým číslem pak po eliminaci jej zpětně vynásobíme .

Takže toto je výsledná simplexová tabulka :

 
 
  

1

a1

1.5

a2

3

a3

0

a4

0

a5

0

a6

0

a7

0

a8

 

B

0   a4

1

0

0

1

1

0

-1

-1

    180
0  a6

0.05

0

0

0

-0.15

1

0.13

0

7.6

3  a3

0

0

1

0

0

0

1

0

20

1.5 a2        1

1

0

0

1

0

-1

0

280

z – c

0.5

0

0

0

1.5

0

1.5

0

     480
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Takže výsledkem řešení je krajní bod konvexního polyedru o souřadnicích
 
X =
x1= 0
x2= 280
x3= 20
x4= 180
x5 = 0
x6 = 7.6
x7 = 0
x8 = 0
 
Hledané maximum je vlastně již vypočteno v řádku z-c ve sloupci b , tedy 1*x1+1.5*x2+3*x3 = 1*0+1.5*280+3*20 = 480 .
 
 
 
Po dosazení do výchozích nerovnic je vidět, že výsledek koresponduje .
 
Tj. :
x1+x2+x3 = 0 + 280 + 20 = 300  <= 300 
 
0.2*x1+0.15*x2+0.02*x3 = 0 + 42 + 0.4 = 42.4  <= 50
 
x3 = 20 <= 20
 
x2 = 280 >= 100
 
tedy po úpravě jsme převedením z tvaru více nebo rovno obdrželi tvar :
 
x2 – x4 = 280 – 180 = 100 <= 100
 
výraz x6 = 7.6 vyjadřuje rezervu v NPK , kde mělo být méně nebo rovno 50 , vyšlo 42.6 a zbývá k dobru 7.6 ,
přičemž formálním dosazením do rovnice včetně kanonického tvaru , tj, bazické neznáné , kterou tato neznámá x6 je, obdržíme :
 
0.2*x1+015*x2+0.02*x3+x6 = 0 + 42 + 0.4 + 7.6 = 42.6 + 7.6 = 50 a jelikož je zde tedy tvar převeden s pomocí bazických neznámých na exaktní rovnost , výraz daný druhou rovnicí početně souhlasí  .
 
 
 
 Výpočetní algoritmus končí ve chvíli , kdy již nejsou žádné záporné hodnoty v řádku z-c  .
 
Toto však je v případě , kdy se bude jednat o úlohu , kde bude jednoznačně omezení ve tvaru méně nebo rovno nebo jen ve tvaru více nebo rovno .
 
Problém nastane , když je relace smíšená a pak je nutno , jako zde , převést na společný tvar a přidávat další pomocnou neznámou a další problém nastává , když v účelové funkci jsou stejné koeficienty .
Pak nelze rozhodnout , který sloupce zvolit jako řídící .
 
O tom příště .
 

Příklad 2 :

Podnik vyrábí dva druhy výrobků

Výrobku A může být nejvýše o dva kusy více,  než dvojnásobek množství výrobku B
Výrobku B může být nejvýše o dva kusy více , než dvojnásobek množství výrobku A
Výroku A i B může být nejvýš 5 kusů

Určete počet kusů výrobku A , B , aby zisk 2*x1 + 3*x2 byl maximální

Řešení :

hledáme max L(x) = 2*x1 + 3*x2

na prostoru řešení S , daném rovnicemi :

 x1 – 2*x2 <=2

-2*x1 + x2 <= 2

x1 + x2 <= 5

Dále také samozřejmě požadujeme , aby x1,x2 bylo >=0

Řešení je v posloupnoti simplexových tabulek

  2 3 0 0 0  
  a1 a2 a3 a4 a5 b
0 a3 1 -2 1 0 0 2
0 a4 -2 1 0 1 0 2
0 a5 1 1 0 0 1 5
z-c -2 -3 0 0 0 0
 
 
  2 3 0 0 0  
  a1 a2 a3 a4 a5 b
0 a3 3 0 1 2 0 6
3 a2 -2 1 0 1 0 2
0 a5 3 0 0 -1 1 3
z-c -8 0 0 3 0 6
 
 
  2 3 0 0 0  
  a1 a2 a3 a4 a5 b
0 a3 0 0 1 3 0 8
3 a2 0 1 0 1/3 2/3 4
2 a1 1 0 0 -1/3 1/3 1
z-c 0 0 0 1/3 8/3 14

Touto tabulkou výsledek končí ,

vektor řešení je :

 X

x1=1

x2=4

x3=8

x4=0

x5=0

Formálním dosazením do výchozích nerovnic je vidět , že výsledek koresponduje :

x1 – 2*x2 <=2 , tedy 1-2*4 = -7 <=2

-2*x1 + x2 <= 2 , tedy -2*1 + 4 = 2 <=2

x1 + x2 <= 5 , tedy 1 + 4 = 5 <=5

Hledané maximum je vlastně již vypočteno v řádku z-c ve sloupci b , tedy 2*x1+3*x2 = 2*1+3*4 = 14 .
 

Další příklad příště , bude např. na optimální sestavení směn , řezného plánu , perfektní párování , optimální výrobní program a další ukázky , včetně grafického odvození v případě dvou neznámých . 

 

 

Příklad 3 :

Příklad na optimální výrobní program při výrobě směsí :

Podnik vyrábí tři druhy leteckého benzínu B1 , B2 , B3  a na jeho výrobu jsou třeba čtyři složky – výchozí surovina

alkin , izopentan , krakovací benzín a destilovaný benzín .

Disponibilní množství složky

S1 = 400 000 l 

S2 = 250 000 l

S3 = 350 000 l

S4 = 100 000 l 

Složky jsou obsaženy

v benzínu B1 v poměru 2 : 3 : 5 : 2

v benzínu B2 v poměru 3 : 1 : 2 : 1

v benzínu B3 v poměru 2 : 2 : 1 : 3

Odbytová cena těchto benzínů je

pro benzín  B1 = 120 000 PJ ,

pro benzín B2 = 100 000 PJ ,

pro benzín  B3 = 150 000 PJ

Cílem je stanovit takový výrobní program , aby zisk byl maximální .

Řešení :

Abychom obdrželi koeficienty matice modelu úlohy A , nejprve provedeme úpravu :

bi/[b] každé poměrové číslo vydělíme součtem všech a pro kontrolu musí dávat jedničku

Takže obdržíme výchozí tabulku :

Obsahuje samozřejmě jednotkovou matici, jež odpovídá počtu výchozích rovnic a samozřejmý požadavek nezápornosti neznámých (proměnných)

 

120

a1

100

a2

150

a3

0

a4

0

a5

0

a6

0

a7

 

b

 

 

0  a4

0.1666

0.4285

0.25

1

0

0

0

400

   
0  a5

0.25

0.14285

0.25

0

1

0

0

250

 

0  a6

0.4166

0.2857

0.125

0

0

1

0

350

 

0  a7      0.1666

0.1428

0.3

0

0

0

1

100

 

z – c

-120

-100

-150

0

0

0

0

0

    
 
 
 

Nyní známým způsobem uplatníme

pravidlo pro výběr sloupce , vidíme , že max. abs hodnota v řádku z-c je v třetím sloupci , dále

pravidlo pro výběr řádku , vidíme , že min. podíl bj/ai je v řádku čtvrtém , takže klíčový prvek je a4,3

Vůči tomuto prvku budeme provádět příslušné eliminace , tj. aby nad ním a pod ním se ocitly nuly .

A jelikož se zde jedná o obecné koeficienty , tak již spíše , než v předchozích příkladech , důsledně tak , že klíčovým prvkem zredukujeme celý řádek , takže obdržíme místo něj jedničku a ostatní řádky zredukujeme prvkem , jenž je ve stejném sloupci jako klíčový prvek, tedy nad ním či pod ním a celý řádek  , obsahující  klíčový prvek , vektorově odečteme a pak samozřejmě opět vynásobíme tím , čím jsme redukovali a nezapomeneme přetahovat koeficienty z horních dvou řádků nad klíčovým prvkem do sloupce vlevo v řádku, který odpovídá řádku , kde je klíčový prvek .

Takže po úpravách obdržíme následující simplexovou tabulku :

 

120

a1

100

a2

150

a3

0

a4

0

a5

0

a6

0

a7

b

 

0  a4

0.05555

0.33333

0.00

1

0

0

-0.6666

333.33333

   
0  a5

0.13888

0.04761

0.00

0

1

0

-0.66666

183.333

 

0  a6

0.36111

0.23809

0.00

0

0

1

-0.33333

316.666

 

150  a3   0.44444

0.38092

1

0

0

0

2.6666

266.666

 

z – c

-53.3333

-42.8571

0.00

0

0

0

400

40000

  

Opět provedeme výběr sloupce , vidíme , že max. abs hodnota je v prvním sloupci , dále provedem výběr řádku , vidíme , že nejmenší podíl bj/ai je v řádku druhém , takže klíčový prvek je a4,1

 

120

a1

100

a2

150

a3

0

a4

0

a5

0

a6

0

a7

b

 

0  a4

0

0.28571

-0.125

1

0

0

-1

300

   
0  a5

0

-0.07142

-0.3125

0

1

0

-1.5

100

 

0  a6

0

-0.07142

-0.8125

0

0

1

-2.5

100

 

120 a3        1

0.85714

2.25

0

0

0

6

600

 

z – c

0

2.85717

120

0

0

0

720

72000

  

 Toto je výsledná simplexová tabulka a výpočet končí .

Výpočetní algorutmus byl ukončen v tomto případě , jelikož v prvních třech sloupcích v řádku z-c zmizely v tomto kroku algoritmu záporné prvky a objevily se větší , případně rovny nule .

 Tudíž bodem řešení je
X = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6)
 
x1 = 0
x2 = 0 
x3 = 600
x4 = 300
x5 = 100
x6 = 100
x7 = 0
 
Vidíme, že výsledek účelové funkce koresponduje se siplexovou tabulkou , jelikož je vidět , že součet součinů 0*a4 + 0 * a5 + 0*a6 + 120*a3 = 120*600 = 72000 . 
 
Sestavil jsem v archaickém Basicu program , který tuto posloupnost simplexových tabulek vypočte včetně zadávání a ukládání , až budu mít čas , pokusím se jej dát jako spustitelný soubor na web  a mohl by jít ještě pod W XP. Program má tu výhodu , že ukazuje při každém provedeném kroku aktuální stav tabulek .
To z programů , jež jsou součástí programových balíků , jako třeba wordperfect , není bohužel patrné .
 
Příště přidám další příklady na všechny možné způsoby užití .
 
Příklad 4 :
 
Optimální výrobní program :
 
Výrobky A a B se zpracovávají na dvou strojích .
 
Výrobku A je zapotřebí vyrobit alespoň 14 kusů .
 
Kapacita orvního stroje je 3000 provozních hodin
 
Kapacita druhého stroje je 1000 provozních hodin .
 
Požadavky výrobků na provozní hodiny jsou v následující tabulce .
 
 
 

 
    Stroj 1  
      Stroj 2
      Zisk
    A
     80
       20
       30
   B
      2
        2   
       30
 
  
Řešení :
 
Nejprve sestavíme zlinearizovaný model úlohy .
 
Neznámé (proměnné) zde budou představovat neznámý počet , samozřejmě nezáporný  .
 
Takže :
 
x1  >= 14
 
80 x1 + 2 x2 <= 3000
 
20 x1 + 2 x2 <= 1000
 
a samozřejmá podmínka nezápornosti
 
x1 , x2  >= 0
 
Účelová funkce :
 
max L(X) = 30 x1 + 30 x2
 
Nejprve , jelikož převažuje počet nerovnic tvaru méně nebo rovno , převedeme první nerovnici na tvar :
 
x1 – x3  <=  14
 
Systém nerovnic nyní převedeme na rovnice , takže obdržíme :
 
x1                          – x3 + x4                   = 14 
 
80 *x1 + 2 *x2                    + x5         = 3000
 
20 *x1 + 2* x2                             + x6 = 1000
 
Systém nerovnic jsme převedli na systém rovnic s využitím kanonické báze , která odpovídá počtu omezení , takže obdržíme výchozí simplexovou tabulku :
 
  30 30 0 0 0 0  
  a1 a2 a3 a4 a5 a6 b
0*a4 1 0 -1 1 0 0 14
0*a5 80 2 0 0 1 0 3000
0*a6 20 2 0 0 0 0 1000
z-c -30 -30 0 0 0 0 0
Další a konečná simplexová tabulka :
 
  30 30 0 0 0 0  
  a1 a2 a3 a4 a5 a6 b
0*a4 1 0 -1 1 0 0 14
0*a5 60 0 0 0 1 0 2000
0*a6 10 1 0 0 0 .5 500
z-c 270 0 0 0 0 0 15000
Jelikož byly koeficienty účelové funkce stejné hodnoty , tak vybrat řídící sloupec je v tomto případě na rozhodnutí konkrétního uživatele .
Ve svém programu mám zadáno , aby se pro případ stejné hodnoty v řádku z-c , tedy vybral sloupec s nejvyšším indexem .
Ale není problém zařídit , jak učinit , aby vybraný klíčový sloupce byl ten první , stačí jen přehodit sloupce , prostě první za druhý a naopak nebo udělat v programu možnost interaktivního rozhodnutí a ovlivnit to osobně .
 
Výsledkem výpočtu je bod X (x1,x2,x3,x4,x5,x6) , tedy:
 
x1 = 0
x2= 500
x3 = 0
x4 = 14
x5 = 2000
x6 = 0
 
Formálním dosazením do rovnic je vidět , že výsledek koresponduje .
 
Výsledek lze tedy interpretovat tak , že se výrobek  A  nevyplatí vyrábět vůbec a druhý tedy v počtu 500 kusů .
 
 
 

Příklad  5 :
 
Dopravní úloha :
 
 
Metodou lineárního programování lze též řešit docela efektivně i dopravní úlohy .
 
Pokud se  řeší tzv. vyvážená úloha , čímž se rozumí , že výchozí rovnice budou ve tvaru rovno  , tedy A*X = B , není třeba zavádět přídatné proměnné , tedy formou jednotkové matice , tvořící kanonickou bázi .
 
Řešení se samozřejmě provede simplexovou metodou , přičemž účelová funkce je ve tvaru min L(X) = a1*x1 + a2*x2 + …ai*xi
 
 
 
což lze také převést na tvar max -L(X) = – a1*x1 -a2*x2 …. – ai*xi
 
Nyní výchozí tabulka :
 
máme 2 dodavatele , 2 odběratele  , a dále matici sazeb , tedy hodnot , představujících dopravní náklady , může být zapsáno  i jakékoliv vhodné podobě , jako schéma či tabulka .
 
Například takto :
 
Dodavatel Di / Spotřebitel Sj     S1 S2 Kapacity dodavatelů    
D1     1  1.50 40    
D2     2 0.75 60    
Požadavky spotřebitelů      50 50 kontrolní součet = 100    
 
 
Účelová funkce je min L(X) = 1*x1 + 1.5*x2 + 2*x3 + 0.75*x4 a tuto se snažíme minimalizovat , což znamená nalézt takové řešení , kdy budou dopravní náklady minimální .
 
 
 
Dále rozepíšeme zlinearizovaný model formou rovnic  :
 
x1 + x2 = 40
x3 + x4 = 60
x1 + x3 = 50
x2 + x4 = 50
 
Nyní zapíšeme posloupnost simplexových tabulek :
 
S0 :
 
 
   –  1.50   –  1.50   –  1.50   –  1.50   
  a1 a2 a3 a4 b
u1 1 1 0 0 40
u2 0 0 1 1 60
u3 1 0 1 0 50
u4 0 1 0 1 50
z-c  –  1.00  –  1.50   –  2.00  –  0.75 0
  
 
 
 
 
 
Úloha řezného plánu : (příště)
 
 
 
 
 
  
 

Únor 9, 2012 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů | Napsat komentář