Mexiko v dávné minulosti

Just another WordPress.com weblog

PŘEHLED VYPOČTENÝCH PŘÍKLADŮ Z INTEGRÁLNÍHO POČTU

V tomto příspěvku bude pro zájemce mající vyšší matematiku souhrn příkladů z integrálního počtu , při kterém se použijí nejrůznější metody pro výpočet .

Jsou vesměs ručně psané včetně grafického zázornění funkce .

Příklad 1

docu0070

 

Grafické znázornění průběhu funkce , k níž hledáme určitý integrál :

 

 

 

docu0071

Příklad 2 :

docu0032

 

Grafické vyjádření k příkladu 2

docu0040

 

 

Příklad č. 3a)

 

docu0039

 

Příklad 3b)

docu0043

Grafické vyjádření

docu0044

Příklad č. 4

docu0031

Příklad č.5

docu0050

grafické znázornění :

 

docu0051

Příklad č. 6

docu0049

A další příklady

 

Reklamy

Listopad 21, 2013 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů, Různé | , , , , , , , | Napsat komentář

Návod , jak u nepříjemných výrazů si poradit s určením limity funkce

Například budeme mít výraz

y = x/((1+3*x)^(1/2)-1) a máme určit jeho limitu , když  x→ 0

tedy píšeme

lim( x→ 0) :  x/((1+3*x)^(1/2)-1) = Y

Vhodné je si funkci nejprve nakreslit , její průběh , dále v tabulkovém procesoru si udělat dva sloupce , do prvního si napsat x , do druhého uvedený výraz a naprogramovat jej do buňky pro daný výraz  a zkusit dosazovat hodnoty, jež se budou blížit 0 . Například nechat dosadit 1 , pak 0.1 , pak 0.01. 0.001 a zjstit , jak se vyvíjí funkčí hodnota.

Dosazením uvidíme , že se blíží k číslu 2/3 .

Takže toto je jen kontrola , že danou limitu jsme určili správně (pokud jsme ji již vypočetli) a co tedy máme očekávat.

A nyní k vlastnímu řešení .

Je vidět, že žádný rozklad ani jiné triky nepomohou , takže nezbývá, než se pokusit zjistit, co na funkci „zlobí“ .

Je to pochopitelně výraz ve jmenovateli, přičemž jednička , je konstantou, s tou nic nenaděláme , takže jen se soustředit na výraz

(1+3*x)^(1/2) .

Je dobré si uvědomit, že nás budou zajímat jen čísla blízko nuly, Takže obdržíme výraz druhá odmocnina z (1+ něco) , kde něco je číslo v int. 0 , 1.

Tedy nahradíme 3*x = z (něco)

Takže například (1+0.44)^(1/2) bude 1.2 , tedy (1+0.2) přibližně (1+0.22) chyba  0.02

Dále například (1+0.21)^(1/2) bude 1. , tedy (1+0.1) , přibližně (1+0.105) , chyba 0.005

A ještě například (1+0.1025)^(1/2) bude 1.0500 , tedy (1+0.0500) , přibližně (1+0.05125) chyba 0.00125

Z příkladů je vidět, že čím blíže bude výraz  „téměř“ jedna, tím stále přesněji bude platit , že druhá odmocnina z malého čísla  blízkého jedničce se rovná jedničve a polovině onoho malého čísla .

Tedy obecně (1+z)^(1/2) bude  (1+z/2) , když z jde k nule .

Takže můžeme již dosadit za z = 3*x a obdržíme místo nepříjemné odmocniny 3*x/2

Takže nyní již dosadíme do původního výrazu a obdržíme :

x/(1+3*x/2 – 1) = x / ((3*x)/2) = x * 2/(3*x) = (2*x) / (3*x) 

Výraz x vykrátíme a obdržíme 2/3 , což je ona limita , kterou jsme měli určit . 

Totéž nám vyšlo i dosazováním v tabulkovém procesoru pro stále bližší hodnoty x jdoucí k nule .

Poznánka  : odmocnina z výrazu (1+z)^(1/2) s využitím úvahy , že se jedná o čísla,  kde z se blíží k nule,  jde použít obecně pro odmocniny kteréhokoliv stupně .

Pak bude tedy platit :

(1+z)^(1/n) = (1+z/n)

A podobné triky při výpočtu limit  se musí užívat dle okolností , když ostatní selže .

Květen 12, 2013 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů, Zajímavosti z Mexica | , , , , , | Napsat komentář

Maturitní test z matematiky 2012

Zde bude znázorněn test z maturity 2012 z matematiky , údajně těžký .

Spíše bych řekl , že jelikož jeho tvůrci asi nejsou přímo lidé z praxe , tak spíše poněkud s  neprakticky formulovaným zadáním .

Až budu mít čas , tak řešení příkladů sem napíši .

A120507_JAV_MATEMATIKA-MATURITA

Další část

ad 9 

Délka ABCDEF = 5 * AB .

Úsečka AB = (2*(a/2)^2)^0.5 = ((2*a^2/4)^0.5) = a/2*(2)^0.5 = a/2*1.1415… 

Celá délka = a * 5 /2 * 1.1414…. 

ad 10 Objem je 2 * jehlan , jeho objem je podstava * výška / 3

Takže podstava je délka AB z předchozího příkladu a to je  a/2*(2)^0.5 ,

tudíž podstava je  (a/2*(2)^0.5)^2 = (a^2)/2

Potom obj)em činí  (a^2)/2 * výška , přičemž výška = a/2

Pak obdržíme  (a^2)/2 * a/2 =  (a^3)/4

Jelikož jsou jehlany 2 , pak předešlé je 2* , tedy obdržíme 2 *(a^3)/4 = (a^3)/2 .

Takže objem vnitřního  útvaru – dvou jehlanů je roven polovině objemu krychle .

(Ovšem daleko zajímavější je otázka, proč obsah trojúhelníku je základna * výška / 2 a obsah (zvaný objem jehlanu je základna (podstava) * výška / 3 .

Doporučoval bych pro zajímavost přečíst odvození , jež je v článku o geometrii vícerozměrných prostorů 

https://aztli.wordpress.com/2009/02/17/o-geometrickych-vlastnostech-znamych-teles-ve-vicerozmernem-prostoru/ 

v místě u jehlanu .

ad 12

ad 12.1 Řešením je kružnice o poloměru AB , kterou sestrojíme nad touto úsečkou, tedy vezmeme do kružítka tuto vzdálenost a protnutím dvou kružnic z bodu A , B obdržíme střed S , okolo něj opíšeme kružnici a obdržíme množinu alias geometrické místo všech bodů  Pi , které budou splňovat podmínku , že úhel při vrcholu na tomto bodě Pi mezi dvěma průvodiči , jdoucím z tohoto bodu Pi na koncové body základny A , B , je konstatní a sice Pi/6 , tedy 30 ° .

ad 12.2 Řešením je bod P , který obdržíme protažením z bodu B přes střed S této kružnice a jeho vzdálenost bude pochopitelně robvna dvojnásobku poloměru , tedy zde 2* AB . To je samozřejmě největší možná vzdálenost, kterou možno docílit ze zvoleného bodu v jakékoliv kružnici., jelikož každý jiný bod , ať „nalevo“ či „napravo“ , již zákonitě bude mít průvodič mimo střed S kružnice jdoucí a tím pádem vždy kratší . Prostě průměr kružnice je nejdelší možná spojnice dvou bodů na kružnici a ten jde vždy přes střed kružnice , jinými slovy je s krajními body průměru na přímce .

 ad 12.3 Vzdálenost je pochopitelně 2*AB = 2* 350 m = 700 m , je to právě průměr kružnice o poloměru AB .

Celý příspěvek

Červen 5, 2012 Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů | | Napsat komentář