Návod , jak u nepříjemných výrazů si poradit s určením limity funkce

Například budeme mít výraz

y = x/((1+3*x)^(1/2)-1) a máme určit jeho limitu , když  x→ 0

tedy píšeme

lim( x→ 0) :  x/((1+3*x)^(1/2)-1) = Y

Vhodné je si funkci nejprve nakreslit , její průběh , dále v tabulkovém procesoru si udělat dva sloupce , do prvního si napsat x , do druhého uvedený výraz a naprogramovat jej do buňky pro daný výraz  a zkusit dosazovat hodnoty, jež se budou blížit 0 . Například nechat dosadit 1 , pak 0.1 , pak 0.01. 0.001 a zjstit , jak se vyvíjí funkčí hodnota.

Dosazením uvidíme , že se blíží k číslu 2/3 .

Takže toto je jen kontrola , že danou limitu jsme určili správně (pokud jsme ji již vypočetli) a co tedy máme očekávat.

A nyní k vlastnímu řešení .

Je vidět, že žádný rozklad ani jiné triky nepomohou , takže nezbývá, než se pokusit zjistit, co na funkci „zlobí“ .

Je to pochopitelně výraz ve jmenovateli, přičemž jednička , je konstantou, s tou nic nenaděláme , takže jen se soustředit na výraz

(1+3*x)^(1/2) .

Je dobré si uvědomit, že nás budou zajímat jen čísla blízko nuly, Takže obdržíme výraz druhá odmocnina z (1+ něco) , kde něco je číslo v int. 0 , 1.

Tedy nahradíme 3*x = z (něco)

Takže například (1+0.44)^(1/2) bude 1.2 , tedy (1+0.2) přibližně (1+0.22) chyba  0.02

Dále například (1+0.21)^(1/2) bude 1. , tedy (1+0.1) , přibližně (1+0.105) , chyba 0.005

A ještě například (1+0.1025)^(1/2) bude 1.0500 , tedy (1+0.0500) , přibližně (1+0.05125) chyba 0.00125

Z příkladů je vidět, že čím blíže bude výraz  „téměř“ jedna, tím stále přesněji bude platit , že druhá odmocnina z malého čísla  blízkého jedničce se rovná jedničve a polovině onoho malého čísla .

Tedy obecně (1+z)^(1/2) bude  (1+z/2) , když z jde k nule .

Takže můžeme již dosadit za z = 3*x a obdržíme místo nepříjemné odmocniny 3*x/2

Takže nyní již dosadíme do původního výrazu a obdržíme :

x/(1+3*x/2 – 1) = x / ((3*x)/2) = x * 2/(3*x) = (2*x) / (3*x) 

Výraz x vykrátíme a obdržíme 2/3 , což je ona limita , kterou jsme měli určit . 

Totéž nám vyšlo i dosazováním v tabulkovém procesoru pro stále bližší hodnoty x jdoucí k nule .

Poznánka  : odmocnina z výrazu (1+z)^(1/2) s využitím úvahy , že se jedná o čísla,  kde z se blíží k nule,  jde použít obecně pro odmocniny kteréhokoliv stupně .

Pak bude tedy platit :

(1+z)^(1/n) = (1+z/n)

A podobné triky při výpočtu limit  se musí užívat dle okolností , když ostatní selže .

Reklamy