Návod , jak u nepříjemných výrazů si poradit s určením limity funkce
Například budeme mít výraz
y = x/((1+3*x)^(1/2)-1) a máme určit jeho limitu , když x→ 0
tedy píšeme
lim( x→ 0) : x/((1+3*x)^(1/2)-1) = Y
Vhodné je si funkci nejprve nakreslit , její průběh , dále v tabulkovém procesoru si udělat dva sloupce , do prvního si napsat x , do druhého uvedený výraz a naprogramovat jej do buňky pro daný výraz a zkusit dosazovat hodnoty, jež se budou blížit 0 . Například nechat dosadit 1 , pak 0.1 , pak 0.01. 0.001 a zjstit , jak se vyvíjí funkčí hodnota.
Dosazením uvidíme , že se blíží k číslu 2/3 .
Takže toto je jen kontrola , že danou limitu jsme určili správně (pokud jsme ji již vypočetli) a co tedy máme očekávat.
A nyní k vlastnímu řešení .
Je vidět, že žádný rozklad ani jiné triky nepomohou , takže nezbývá, než se pokusit zjistit, co na funkci „zlobí“ .
Je to pochopitelně výraz ve jmenovateli, přičemž jednička , je konstantou, s tou nic nenaděláme , takže jen se soustředit na výraz
(1+3*x)^(1/2) .
Je dobré si uvědomit, že nás budou zajímat jen čísla blízko nuly, Takže obdržíme výraz druhá odmocnina z (1+ něco) , kde něco je číslo v int. 0 , 1.
Tedy nahradíme 3*x = z (něco)
Takže například (1+0.44)^(1/2) bude 1.2 , tedy (1+0.2) přibližně (1+0.22) chyba 0.02
Dále například (1+0.21)^(1/2) bude 1. , tedy (1+0.1) , přibližně (1+0.105) , chyba 0.005
A ještě například (1+0.1025)^(1/2) bude 1.0500 , tedy (1+0.0500) , přibližně (1+0.05125) chyba 0.00125
Z příkladů je vidět, že čím blíže bude výraz „téměř“ jedna, tím stále přesněji bude platit , že druhá odmocnina z malého čísla blízkého jedničce se rovná jedničve a polovině onoho malého čísla .
Tedy obecně (1+z)^(1/2) bude (1+z/2) , když z jde k nule .
Takže můžeme již dosadit za z = 3*x a obdržíme místo nepříjemné odmocniny 3*x/2
Takže nyní již dosadíme do původního výrazu a obdržíme :
x/(1+3*x/2 – 1) = x / ((3*x)/2) = x * 2/(3*x) = (2*x) / (3*x)
Výraz x vykrátíme a obdržíme 2/3 , což je ona limita , kterou jsme měli určit .
Totéž nám vyšlo i dosazováním v tabulkovém procesoru pro stále bližší hodnoty x jdoucí k nule .
Poznánka : odmocnina z výrazu (1+z)^(1/2) s využitím úvahy , že se jedná o čísla, kde z se blíží k nule, jde použít obecně pro odmocniny kteréhokoliv stupně .
Pak bude tedy platit :
(1+z)^(1/n) = (1+z/n)
A podobné triky při výpočtu limit se musí užívat dle okolností , když ostatní selže .
-
Archiv
- Květen 2015 (1)
- Únor 2015 (1)
- Prosinec 2014 (1)
- Září 2014 (1)
- Červenec 2014 (1)
- Únor 2014 (1)
- Leden 2014 (1)
- Listopad 2013 (1)
- Říjen 2013 (3)
- Červenec 2013 (1)
- Červen 2013 (1)
- Květen 2013 (1)
-
Kategorie
-
RSS
Entries RSS
Comments RSS