Mexiko v dávné minulosti

Just another WordPress.com weblog

PŘÍKLADY NA URČENÍ NEURČITÉHO INTEGRÁLU

Příklad 2 :

∫ ((arcsin(x))/(1-xˆ2))ˆ(1/2) dx =

abychom se zbavili nepříjemného výrazu pod odmocninou , je nutno umět „nasahnout“ funkci , za niž položíme náhradu , substituci a tou bude zde arcsin (x) , jelikož využijeme situace , že ve jmenovateli v integrandu  je přímo její derivace , což je nutno nejprve rozpoznat .

Zavedeme substituci u = (arcsin(x) )ˆ(1/2)              (*)

upravíme uˆ2 = arcsin(x)

zderivujeme

2*u *du = 1/ (1-xˆ2)ˆ(1/2) *dx

Odtud dosadíme do původního výrazu :

∫ u*2*u*du = 2*uˆ2*du =

2*∫uˆ2*du = 2*(uˆ3)/3 = 2/3 *(uˆ3)

Do tohoto výrazu dosadíme zpět to , co bylo položeno v substituci (*)

———————————————————————————————————————————–

 2/3 *((arcsin(x) )ˆ(1/2))ˆ3 = 2/3 *((arcsin(x) )ˆ(3/2))    (**)

—————————————————————————

a to je výsledek výpočtu .

Po kontrole derivací výrazu (**)

2/3 *3/2 * ((arcsin(x) )ˆ(3/2-1)) *1/(1-xˆ2)ˆ(1/2) = ((arcsin(x) )ˆ(1/2)) *1/(1-xˆ2)ˆ(1/2) =

((arcsin(x))/(1-xˆ2))ˆ(1/2) jsme dostali původni výraz .

Příklad 6

∫ (tg(x))ˆ2 dx = 

Výraz , aby šel vůbec určit ,rozšíříme o 1 a tuto zároveň odečteme  , takže obdržíme :

∫ (1 + (tg(x))ˆ2 + 1) dx = 

dále upravíme tentro integrand přeskupením na součet dvou integrálů :

∫ (1 + (tg(x))ˆ2) dx  – ∫ 1 dx = 

V prvním členu integrálu přepíšeme tg x = sin x / cos x 

∫ (1 + ((sin(x))ˆ2)/ ((cos(x))ˆ2)) dx = 

a převedeme na společný jmenovatel :

obdržíme tak :

∫ ((cos(x))ˆ2) + ((sin(x))ˆ2)/ ((cos(x))ˆ2)) dx = 

a to je  po úpravě v čitateli trigonometrickou jedničku , takže obdržíme :

∫ (1 /  ((cos(x))ˆ2)) dx =

A tento výraz je již přímo derivací pro funkci tg x , takže

∫ (1 /  ((cos(x))ˆ2) dx = tg x

Druhý člen integrálu je triviální ,

∫ 1 dx = x

Takže obdržíme výsledek

∫ (tg(x))ˆ2 dx =  tg x – x

Kontrolou derivací tohoto výrazu obdržíme pochopitelně původní integrand .

Tedy (tg x – x ) ´= 1 / ((cos(x))ˆ2) – 1 , převedeme na společný jmenovatel a obdržíme :

(1 – ((cos(x))ˆ2))/((cos(x))ˆ2)

Výraz v čitateli rozepíšeme zase pomocí trigonometrické jedničky , tedy :

((sin(x))ˆ2) + ((cos(x))ˆ2) – ((cos(x))ˆ2) = ((sin(x))ˆ2)

Takže obdržíme výraz , kde v čitateli bude ((sin(x))ˆ2)

ve jmenovateli bude ((cos (x))ˆ2) ,

tedy

((sin(x))ˆ2)/((cos (x))ˆ2) = ((tg(x))ˆ2) .

 A to je náš původní výraz , který jsme měli zintegrovat

Reklamy

Říjen 24, 2013 - Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů, Různé

Zatím nemáte žádné komentáře.

Zanechat Odpověď

Vyplňte detaily níže nebo klikněte na ikonu pro přihlášení:

WordPress.com Logo

Komentujete pomocí vašeho WordPress.com účtu. Odhlásit / Změnit )

Twitter picture

Komentujete pomocí vašeho Twitter účtu. Odhlásit / Změnit )

Facebook photo

Komentujete pomocí vašeho Facebook účtu. Odhlásit / Změnit )

Google+ photo

Komentujete pomocí vašeho Google+ účtu. Odhlásit / Změnit )

Připojování k %s

%d bloggers like this: