Návod , jak u nepříjemných funkcí se vypořádat s derivací aneb něco pro studenty , mající vyšší matematiku
V tomhle článku malý návod, jak vyřešit derivaci nepříjemných funkcí .
Dost se s tím setkávám , že si s tím lidé nevědí rady , a přitom řešení je velmi jednoduché .
Například :
Příklad 1:
y = x^x
y´= ?
Tak tyhle funkce vlastně nejdou vůbec derivovat v pravém slova smyslu .
Musí se na to „oklikou“ .
Stačí si uvědomit, že například 8 = e^(ln(8))
to má tu výhodu, že jeliko ž funkce e^x se derivací nezmění , taktímto jednoduchým trikem dostaneme do mocnitele onu nepříjemnou fuknci a šikovná inversní funkce ln(x) „zařídí“ , že se zbavíme nepříjemné mocniny .
(protože píši “ v řádku“ budu důsledně závorkovat)
Tím pádem jediné, co je k derivování, je to co zbyde v mocniteli . A nic více .
Takže praktický postup :
Nejprve zapíšeme
z = x^x
Tudíž
z = e^(ln(z))
Tedy po dosazení
z = e^(ln(x^x))
Po úpravě která zařídí , že zmizí nepříjemná mocnina , obdržíme :
z = e^(x*ln(x))
A od této chvíle se budeme zabývat pouze touto upravenou funkcí
Dále
y = e^z , tudíž
y = (e^z)´ = (e^(ln(z))) * dz
Tedy rozepíšeme
y´= ( e^(x*ln(x)) )* dz (1)
dz = d(ln(z))/dx = d(x*ln(x))/dx
toto je součin dvou funkcí , tedy (u * v)´= u´* v + u * v´
Tedy:
u = x , u´= 1
v = ln(x) , v´= 1/x
dosadíme :
1 * ln(x) + x * 1/x = ln(x)+1
Tedy dz = ln(x)+1
Nyní dosadíme do výrazu (1):
y´= e^(x*ln(x)) * dz
y´=(e^(x*ln(x))) * (ln(x)+1) = (x^x)´
Tudíž derivace funkce x^x, tedy
(x^x)´ = (e^(x*ln(x))) * (ln(x)+1)
—————————————————————————————————-
Příklad 2:
y = x^n
y´= ?
Sice se bohužel místo odvození lidem vnutí cosi jako „kuchařka“ , tzv. tabulkové derivace, ale tím se zatemní způsob , jak se k oné derivaci ve skutečnosti dojde.
Takže se sice napíše, jakoby bez odvození y´= n*x^(n-1) .
Ovšem , neplatí to jen pro celá čísla ale i pro jakákoliv .
Nicméně ve skriptech to bývá po delším hledání „někde“ uvedené“ .
Takže postup je podobný.
opět položíme :
z = e^(ln(z))
přičemž
z = x^n
Obdržíme :
z = e^(ln(x^n))
po úpravě obdržíme :
z = e^(n * ln(x))
Takže tento výraz derivujeme :
tedy
y´ = (e^z)´= e^z * dz
z = n*ln(x)
pak derivací obdržíme :
z´= n*1/x = n/x
Dosadíme :
y´= (e^(ln(x^n))) * n/x
Nyní dosadíme zpět za výraz e^(ln(x^n)) = x^n
Obdržíme :
y´ = (e^(ln(x^n))) * n/x = (x^n) * n/x = n * x^n * 1/x = n * x^n * x^(-1 ) = n * x ^(n-1)
tedy
y = x^n
y´= n * (x ^(n-1))
Pochopitelně to bude platit i pro nejen celá čísla , ale i jakákoliv , tedy racionální i irracionální(pro ty samozřejmě limitně, jelikož nemůžeme znát všechny číslice irracionálního čísla, má jich nekonečně) .
Příklad 3
y = (sin(x))^(cos(x))
y´= ?
Opět položíme :
z = e^(ln(z))
přičemž
z =(sin(x))^cos(x))
Obdržíme :
z = e^(ln((sin(x))^(cos(x)))
po úpravě obdržíme :
z = e^((cos(x)) * ln(sin(x)))
Nyní mocnitel položíme :
t = (cos(x)) * ln(sin(x))
Takže obdržíme :
z = e^t
tento výraz derivujeme :
tedy po derivaci obdržíme :
t´ = (e^t)´= e^t * dt
Nyní vyjádříme :
dt = d((cos(x)) * ln(sin(x)))/dx
Jedná se o součin funkcí, takže jako derivaci součinu :
(u*v)´= u´* v + u * v´
Položíme :
u = cos(x) , u´= -sin(x)
v = ln(sin(x)) , v´= (1 /sin(x)) * cos(x) = cos(x)/sin(x)
Po dosazení obdržíme :
-sin(x) * ln(sin(x)) + cos(x) * cos(x) / sin(x)
Nyní zapíšeme do původního výrazu :
t´ = (e^t)´= e^t * dt
tedy:
(e^((cos(x))*ln(sin(x)))) * (-sin(x) * ln(sin(x)) + cos(x) * cos(x) / sin(x) )
což je výsledek výpočtu tedy:
y =(sin(x))^(cos(x))
y´= (e^((cos(x))*ln(sin(x))) * ((-sin(x)) * ln(sin(x)) + (cos(x))^2 / (sin(x)))
Příklad 4
y = (cos(x))^(sin(x))
y´= ?
Opět položíme :
z = e^(ln(z))
přičemž
z =(cos(x))^sin(x))
Obdržíme :
z = e^(ln((cos(x))^(sin(x)))
po úpravě obdržíme :
z = e^((sin(x)) * ln(cos(x)))
Nyní mocnitel položíme :
t = (sin(x)) * ln(cos(x))
Takže obdržíme :
z = e^t
tento výraz derivujeme :
tedy po derivaci obdržíme :
t´ = (e^t)´= e^t * dt
Nyní vyjádříme :
dt = d((sin(x)) * ln(cos(x)))/dx
Jedná se o součin funkcí, takže jako derivaci součinu :
(u*v)´= u´* v + u * v´
Položíme :
u = sin(x) , u´= cos(x)
v = ln(cos(x)) , v´= (1 /cos(x)) * -sin(x) = -sin(x)/cos(x)
Po dosazení obdržíme :
cos(x) * ln(cos(x)) + sin(x) * -sinc(x) /cos(x)
Nyní zapíšeme do původního výrazu :
t´ = (e^t)´= e^t * dt
tedy:
(e^((sin(x))*ln(cos(x)))) * (cos(x) * ln(cos(x)) – sin(x) * sin(x) / cos(x) )
což je výsledek výpočtu tedy:
y =(cos(x))^(sin(x))
y´= (e^((sin(x))*ln(cos(x)))) * ((cos(x)) * ln(cos(x)) – (sin(x))^2 / (cos(x)))
Příklad 5
y = 10^x
y´= ?
Opět položíme 10^x = e^(ln(10^x))
a ten podobně přepíšeme tak , že exponent mocnitel x jako argument funkce logaritmu napíšeme jako násobek logaritmu svého mocněnce .
A obdržíme 10^x = e^(x * ln(10))
A budeme derivovat jen již tuto upravenou funkci . A protože současně došlo k zajímaé situaci , kdy po odstranění nepříjemného x z exponentu v argumentu logaritmu zbyla k „logaritmování“ jen konstanta 10 , tak vlastně část výrazu je též celá konstanta , totiž ln 10 .
Takže derivací funkce e^(x * ln(10)) vlastně budeme jen derivovat samotné x , násobené konstantou ln(10), co že sprojeví pouze přenásobením původního výrazu e^(x * ln(10)) .
Takže (x * ln(10))´= 1 * ln(10)) = ln (10) a to je již vše .
Obdržíme tedy ln(10) * e^(x * ln(10)) a to je po úpravě ln(10) * e^(ln(10^x)) a to je po další úpravě jen původní výraz násobený ln(10) , tedy ln(10) * 10^x a to je již výsledek
Takže otázka
y = 10^x
y´= ?
y´ = ln(10) * 10^x
je zodpovězena velmi jednoduše , není třeba derivovat nic , pouze jen opsat původní výraz a přenásobit jej logaritmem mocněnce , mocnitel je pouze x a to se derivací změní v jedničku a tu netřeba opisovat .
Zatím nemáte žádné komentáře.
-
Archiv
- Květen 2015 (1)
- Únor 2015 (1)
- Prosinec 2014 (1)
- Září 2014 (1)
- Červenec 2014 (1)
- Únor 2014 (1)
- Leden 2014 (1)
- Listopad 2013 (1)
- Říjen 2013 (3)
- Červenec 2013 (1)
- Červen 2013 (1)
- Květen 2013 (1)
-
Kategorie
-
RSS
Entries RSS
Comments RSS
Zanechat odpověď