Návod , jak u nepříjemných funkcí se vypořádat s derivací aneb něco pro studenty , mající vyšší matematiku

V tomhle článku malý návod, jak vyřešit derivaci nepříjemných funkcí .

Dost se s tím setkávám , že si s tím lidé nevědí rady , a přitom řešení je velmi jednoduché .

Například :

Příklad 1:

y = x^x

y´= ?

Tak tyhle funkce vlastně nejdou vůbec derivovat v pravém slova smyslu .

Musí se na to „oklikou“ .

Stačí si uvědomit, že například 8 = e^(ln(8))

to má tu výhodu, že jeliko ž funkce e^x se derivací nezmění , taktímto jednoduchým trikem dostaneme do mocnitele onu nepříjemnou fuknci a šikovná inversní funkce ln(x)  „zařídí“ , že se zbavíme nepříjemné mocniny .

(protože píši “ v řádku“ budu důsledně závorkovat)

Tím pádem jediné, co je k derivování, je to co zbyde v mocniteli . A nic více .

Takže praktický postup :

Nejprve zapíšeme

z = x^x

Tudíž

z = e^(ln(z))

Tedy po dosazení

z = e^(ln(x^x))

Po úpravě  která zařídí , že zmizí nepříjemná mocnina , obdržíme :

z = e^(x*ln(x))

A od této chvíle se budeme zabývat pouze touto upravenou funkcí

Dále

y = e^z , tudíž 

y = (e^z)´ = (e^(ln(z))) * dz

Tedy rozepíšeme

y´= ( e^(x*ln(x)) )* dz   (1)

dz = d(ln(z))/dx = d(x*ln(x))/dx

toto je součin dvou funkcí , tedy (u * v)´= u´* v + u * v´

Tedy:

u = x , u´= 1

v = ln(x) , v´= 1/x

dosadíme :

1 * ln(x) + x * 1/x = ln(x)+1

Tedy dz = ln(x)+1

Nyní dosadíme do výrazu (1):

y´= e^(x*ln(x)) * dz

y´=(e^(x*ln(x))) * (ln(x)+1) = (x^x)´

Tudíž derivace funkce  x^x, tedy

 (x^x)´ = (e^(x*ln(x))) * (ln(x)+1)

—————————————————————————————————-

Příklad 2:

y = x^n

y´= ?

Sice se bohužel místo odvození lidem vnutí cosi jako „kuchařka“ , tzv. tabulkové derivace, ale tím se zatemní způsob , jak se k oné derivaci ve skutečnosti dojde.

Takže se sice napíše, jakoby bez  odvození y´= n*x^(n-1) .

Ovšem , neplatí to jen pro celá čísla  ale i pro jakákoliv .

Nicméně ve skriptech to bývá po delším hledání „někde“ uvedené“ .

Takže postup je podobný.

opět položíme :

z = e^(ln(z))

přičemž

z = x^n

Obdržíme :

z  = e^(ln(x^n))

po úpravě obdržíme :

z = e^(n * ln(x))

Takže tento výraz derivujeme :

tedy

y´ = (e^z)´= e^z * dz 

z = n*ln(x)

pak derivací obdržíme :

z´= n*1/x = n/x

Dosadíme :

y´= (e^(ln(x^n))) * n/x

Nyní dosadíme zpět za výraz e^(ln(x^n)) = x^n

Obdržíme :

y´ = (e^(ln(x^n))) * n/x = (x^n) * n/x = n * x^n * 1/x = n * x^n * x^(-1 ) = n * x ^(n-1)

tedy

y = x^n

y´= n * (x ^(n-1))

Pochopitelně to bude platit i pro nejen celá čísla , ale i jakákoliv , tedy racionální i irracionální(pro ty samozřejmě limitně, jelikož nemůžeme znát všechny číslice irracionálního čísla, má jich nekonečně) .

Příklad 3

y = (sin(x))^(cos(x))

y´= ?

Opět položíme :

z = e^(ln(z))

přičemž

z =(sin(x))^cos(x))

Obdržíme :

z = e^(ln((sin(x))^(cos(x)))

po úpravě obdržíme :

z = e^((cos(x)) * ln(sin(x)))

Nyní mocnitel položíme :

t = (cos(x)) * ln(sin(x))

Takže obdržíme :

z = e^t

tento výraz derivujeme :

tedy po derivaci obdržíme :

t´ = (e^t)´= e^t * dt

Nyní vyjádříme :

dt = d((cos(x)) * ln(sin(x)))/dx

Jedná se o součin funkcí, takže jako derivaci součinu :

(u*v)´= u´* v + u * v´

Položíme :

u = cos(x) , u´= -sin(x)

v = ln(sin(x)) , v´= (1 /sin(x))  *  cos(x) = cos(x)/sin(x)

Po dosazení obdržíme :

-sin(x) * ln(sin(x)) + cos(x) * cos(x) / sin(x)

Nyní zapíšeme do původního výrazu :

t´ = (e^t)´= e^t * dt

tedy:

(e^((cos(x))*ln(sin(x)))) * (-sin(x) * ln(sin(x)) + cos(x) * cos(x) / sin(x) )

což  je výsledek výpočtu tedy:

y =(sin(x))^(cos(x))

y´= (e^((cos(x))*ln(sin(x))) * ((-sin(x)) * ln(sin(x)) + (cos(x))^2 / (sin(x)))

Příklad 4

y = (cos(x))^(sin(x))

y´= ?

Opět položíme :

z = e^(ln(z))

přičemž

z =(cos(x))^sin(x))

Obdržíme :

z = e^(ln((cos(x))^(sin(x)))

po úpravě obdržíme :

z = e^((sin(x)) * ln(cos(x)))

Nyní mocnitel položíme :

t = (sin(x)) * ln(cos(x))

Takže obdržíme :

z = e^t

tento výraz derivujeme :

tedy po derivaci obdržíme :

t´ = (e^t)´= e^t * dt

Nyní vyjádříme :

dt = d((sin(x)) * ln(cos(x)))/dx

Jedná se o součin funkcí, takže jako derivaci součinu :

(u*v)´= u´* v + u * v´

Položíme :

u = sin(x) , u´= cos(x)

v = ln(cos(x)) , v´= (1 /cos(x)) * -sin(x) = -sin(x)/cos(x)

Po dosazení obdržíme :

cos(x) * ln(cos(x)) + sin(x) * -sinc(x) /cos(x)

Nyní zapíšeme do původního výrazu :

t´ = (e^t)´= e^t * dt

tedy:

(e^((sin(x))*ln(cos(x)))) * (cos(x) * ln(cos(x)) – sin(x) * sin(x) / cos(x) )

což je výsledek výpočtu tedy:

y =(cos(x))^(sin(x))

y´= (e^((sin(x))*ln(cos(x)))) * ((cos(x)) * ln(cos(x)) – (sin(x))^2 / (cos(x)))

 

 

Příklad 5

y = 10^x

y´= ?

Opět položíme 10^x =  e^(ln(10^x))

a ten podobně přepíšeme tak , že exponent mocnitel x jako argument funkce logaritmu napíšeme jako násobek logaritmu svého mocněnce .

A obdržíme  10^x =  e^(x * ln(10))

A budeme derivovat jen již tuto upravenou funkci . A protože současně došlo k zajímaé situaci , kdy po odstranění nepříjemného x z exponentu v argumentu logaritmu zbyla k „logaritmování“ jen konstanta 10 , tak vlastně část výrazu je též celá konstanta , totiž ln 10 .

Takže derivací funkce e^(x * ln(10)) vlastně budeme jen derivovat samotné x , násobené konstantou ln(10), co že sprojeví pouze přenásobením původního výrazu e^(x * ln(10)) .

Takže (x * ln(10))´= 1 * ln(10)) = ln (10) a to je již vše .

Obdržíme tedy ln(10) * e^(x * ln(10)) a to je po úpravě ln(10) * e^(ln(10^x)) a to je po další úpravě jen původní výraz násobený ln(10) , tedy ln(10)  * 10^x a to je již výsledek

Takže otázka

y = 10^x

 

y´= ?

 

y´ = ln(10) * 10^x

je zodpovězena velmi jednoduše , není třeba derivovat nic , pouze jen opsat původní výraz a přenásobit jej logaritmem mocněnce , mocnitel je pouze x a to se derivací změní v jedničku a tu netřeba opisovat .