Mexiko v dávné minulosti

Just another WordPress.com weblog

Doplnění vztahů pro výpočet obsahů a povrchů hyperkoule v E(N)

Nalézá se v geometrii vícerozměrných prostorů , odvození je pro prostory E4 až E10 .

Asi nejzajímavější je , že s rostoucím počtem prostorových rozměrů roste i mocnina u čísla PI  , je společná pro sudý počet rozměrů a následující lichý (nikoliv obráceně) .

Způsobené je to tím , že s rostoucím počtem rozměrů přibývá prostoru a pro hyperkouli je nutno provést příslušné „rotace“ ve více rozměrech a jejich kombinace se pochopitelně násobí .

Obecný tvar pro obsah hyperkoule v E(N) je O =  C(EN) * R^N , kde C(EN) = a*PI^b , čili

pro E0 je a = 1 , b = 0 ,

pro E1 je a = 2 , b = 0 ,

pro E2 je a = 1 , b = 1 ,

pro E3 je a = 4/3 , b = 1

pro E4 je a = 1/2 , b = 2

pro E5 je a = 8/15 , b = 2

pro E6 je a = 1/6 , b = 3

pro E7 je a = 16/105 , b = 3

pro E8 je a = 1/24 , b = 4

pro E9 je a=32/954 , b= 4

pro E10 je a = 1/120 , b = 5

Pozorná čtenářka si jistě povšímla , že když vezmeme např pro E10 a porovnáme E8 , je to konstanta pro E8 násobená PI/5

když totéž provedem pro E8 a provnáme E6 , je to konstanta E6 násobená PI/4

když totéž provedem pro E6 a porovnáme E4 , je to konstanta E4 násobená PI/3

když totoéž provedeme pro E4 a porovnáme pro E2 , je to konstanta E2 násobená PI/2

Čili se takto dá rekursivně odvodit, jak by vypadal tvar např. pro prostor E12 a další prostory se sudým počtem rozměrů :

vezme se pro konstanta pro předchozí sudý, zde E10 a to je 1/120*PI^5  , a vynásobíme PI / polovičním počtem rozměrů

U prostorů s lichým počtem rozměrů lze udělat poupravenou úvahu :

pozorná čtenářka si jistě povšimne , že čísla v čitateli (bez samotného PI a jeho příslušných mocnin) u lichopočetných  prostorů jsou :

E1 : 2

E3 : 4

E5 : 8

E7 : 16

E9 : 32

E11 : 64

atd. Čili to je řada  2^(n+1)/2

Co se týče mocniny PI , tak je to naopak PI^(n-1)/2

Co se týče samotného jmenovatele , tak to je vždy číslo ve jmenovateli , které figuruje v prostoru o předchozí dvě dimenze méně a je násobené přímo počtem rozměrů konkrétního prostoru , tedy :

E1 : 1

E3 : 3

E5 : 15

E7 : 105

E9 : 945

E11 : 10395

atd. Čili je to řada , kde se násobí předchozí číslo ve jmenovateli počtem rozměrů daného vesmíru .

Možná , že se zdá milým čtenářkám divné, proč zdůrazňuji jedničku u prostoru E1 , když tam je celé číslo jen 2 .

To proto, že 2 je rovněž 2/1 a ta formální jednička ve jmenovateli , nemající významu , tak násobená počtem rozměrů našeho třírozměrného vesmíru zařídí , proč je ve vzorečku pro kouli v E3 něco lomeno třemi

V dalším článku , kde je kompletní odvození , tak je ještě lépe podán výpočet příslušných koeficientů pro hyperkouli .

Mně osobně se na tomhle nejvíce líbí , že ve školometském odvozování vzorečků je skutečnou příčinou toho, že tu v čitateli , resp. ve jmenovateli pro různá tělesa je to číslo především důsledkem počtu prostorových rozměrů daného vesmíru , to je pravá příčina jejich existence .

Čili když člověk ví , jak to bude vypadat v prostorech s různým počtem rozměrů , dokáže pozpátku i vpřed odvodit jakékoliv další vztahy , aniž by složitě odvozoval, pochopitelně v prostorech s EYKLEIDEOVSKOU geometrií konkrétní jednotlivé vztahy , to je samozřejmě také důležité a pak konkrétní postup pro konkrétní prostor nám dá výsledek, , který můžeme ověřit z hlediska platnosti obecného odvození pro prostory s různým počtem rozměrů , zde předvedené .

Tak trochu to připomíná radu , jak se učit konkrétní cizí jazyk , že nejlépe tak, když se rovnou budeme učit několik, třeba deset souběžně .Tam je samozřejmě největší problém , naučit se mluvit a myslit v tom jazyce přímým kontaktem s rodilými mluvčími .

Okolnost, proč je konstanta u bezrozměrného , bodového vesmíru E0 = 1 , a ne 0 , není na první pohled tak zřejmá a dá se odvodit vlastně jen rekursivně .

To především proto, že v tomto „prostoru“ není co měřit .

 

 

 

 

Advertisements

Březen 20, 2009 - Posted by | Geometrie vícerozměrných prostorů

1 komentář »


Zanechat Odpověď

Vyplňte detaily níže nebo klikněte na ikonu pro přihlášení:

WordPress.com Logo

Komentujete pomocí vašeho WordPress.com účtu. Odhlásit / Změnit )

Twitter picture

Komentujete pomocí vašeho Twitter účtu. Odhlásit / Změnit )

Facebook photo

Komentujete pomocí vašeho Facebook účtu. Odhlásit / Změnit )

Google+ photo

Komentujete pomocí vašeho Google+ účtu. Odhlásit / Změnit )

Připojování k %s

%d bloggers like this: